Transformation de Laplace

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La résolution des équations différentielles pour des systèmes complexes (entrées et perturbations fonctions de t), devient vite délicate. La transformation de Laplace est un outil mathématique qui va permettre de résoudre des équations algébriques à la place des équations différentielles.

Définitions

Soit f(t) une fonction de la variable réelle t définie sur R et supposée nulle pour tout

(On l'appellera "fonction causale")

On appelle "transformée de Laplace" de la fonction , la fonction complexe de la variable complexe ,définie par l'intégrale, (si elle converge...)

A retenir


On note et on lit est la "transformée de Laplace" de

Remarque On suppose que pour la fonction est nulle, en fait les valeurs prises par pour n'interviennent pas.

Dans la pratique, on multipliera une fonction f(t) quelconque par la fonction d'Heaviside notée ,

pour

pour (voir Signaux canoniques d'entrée)

Exemple Si on calculera la transformée de Laplace de

Propriétés

Unicité
A correspond une et une seule fonction et inversement.


Linéarité (ou superposition)


Théorèmes fondamentaux (admis sans démonstration)

Théorème de la dérivée première


représente la valeur à l'origine de la fonction f (=Conditions initiales)


Théorème de la dérivée seconde


Théorème de l'intégrale première


Théorème du retard


Théorème de la valeur initiale


Théorème de la valeur finale


Ces deux résultats n'ont de sens que si les limites existent. On verra par la suite qu'elles sont liées à des conditions sur la fonction F(p).

Exemples de transformées pour des fonctions usuelles (signaux canoniques d'entrée)

Fonction impulsion, ou "pic de DIRAC"

pour et

Dirac.png

Transformation de Laplace :

en remarquant que pour et pour

Tranformée de la fonction impulsion


Fonction échelon

La fonction échelon est définie par :

pour

pour

Echelon.png

Transformation de Laplace :


Tranformée de la fonction échelon


Fonction rampe

Définie par (le facteur u(t) est utilisé pour annuler la fonction pour t<0)

Rampe.png


Par une intégration par parties:

Tranformée de la fonction rampe


Fonction décroissance exponentielle

Définie par :

Dexp.png

Transformation de Laplace :

Résultat obtenu en posant et en utilisant le résultat de la fonction échelon.

Tranformée de Laplace de la fonction décroissance exponentielle



Pour chaque type de fonction f(t) il est possible de calculer la transformée de Laplace.

Comme, excepté les quelques cas qui précèdent, les développements mathématiques deviennent vite complexes et sortent du domaine du programme d'automatique, on utilise une table de transformées usuelles. Cependant, les calculs restent abordables avec le niveau acquis en maths en prépa.

Le travail à faire est alors une mise en forme de la fonction temporelle de manière à pouvoir l'identifier avec une des fonctions de la table. Cette table sera parfois fournie avec l'énoncé dans un problème posé.

Transformée inverse de Laplace

La fonction dont est la transformée, est appelée fonction originale de .



La résolution du problème dans le "domaine symbolique" fournit une équation en "p". On identifie cette équation à des transformées (fonctions de "p") figurant dans le tableau, et dont on connaît donc les transformées inverses. L'équation dans le "domaine temporel" ainsi obtenue est la solution recherchée.

Attention !

La transformée inverse d'une somme de fonctions dans le domaine de Laplace est égale à la somme des transformées inverses.

MAIS La transformée inverse d'un produit de fonctions dans le domaine de Laplace n'est pas égale au produit des transformées inverses.

Il faut utiliser une décomposition en éléments simples pour transformer le produit en somme

Dans le cas ou la fonction est trop complexe pour être identifiée directement à une transformée usuelle, il est nécessaire de réaliser une décomposition en éléments simples de la fonction, chacun de ces éléments étant alors identifiés à une transformée usuelle. On utilise ensuite la propriété de superposition :

Propriété de superposition


Application de la méthode de Laplace à la résolution d'une équation différentielle simple

Soit à résoudre l'équation différentielle donnant la vitesse d'un corps en chute libre dans le vide :

On considère les conditions initiales nulles, c'est à dire que . Par contre, on impose que le mouvement ne débute qu'à t=0 en considérant que la force extérieure (l'attration terrestre) ne s'applique qu'a partir de t=0. Ce qui conduit à multiplier par  :

On transforme cette équation dans le domaine de Laplace grace au théorème de la dérivée première :

et à la transformée connue de u(t) :

Ce qui donne l'équation symbolique suivante :

On résout cette équation dans le domaine symbolique :

On réalise la transformation inverse en sachant que est la transformée de  :

qui est la solution de l'équation dans le domaine temporel.

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