Système du premier ordre

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Définition

C'est un système dont le comportement est régi par une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Celle-ci peut se mettre sous la forme générale


Fonction de transfert / forme canonique

Si toutes les conditions initiales sont nulles (conditions dites "d'Heaviside", auxquelles on peut se ramener par un changement de variable approprié), la fonction de transfert est obtenue par transformation (par la transformée de Laplace) dans le domaine symbolique, de l'équation différentielle:


résultat qu'on peut mettre sous la forme

avec

Forme canonique de la fonction de transfert d'un système du premier ordre
  • est le gain statique;
  • est la constante de temps (s), elle est positive.


Réponse à une entrée impulsion unitaire (entrée canonique du type "Dirac")

Après transformation dans le domaine de Laplace:

à laquelle correspond la sortie temporelle (par identification avec la forme , voir Table des transformées usuelles de Laplace).

Pente à l'origine : donc

1er ordre impulsion.svg

Tangente à l'origine : donc

Cette tangente à l'origine coupe l'axe des abscisses à

Réponse à un échelon

L'entrée est un échelon: soit dans le domaine de Laplace:

Pour la fonction de transfert: et la sortie est de la forme,

ce qui donne :

Réponse indicielle du premier ordre


et

Pente de la tangente à l'origine :

1er ordre indiciel svg.svg

  • Pente de la tangente à l'origine :.
  • La réponse présente une asymptote horizontale à au niveau .
  • La tangente à l'origine et l'asymptote horizontale à se coupent à .
  • à la réponse vaut: , soit 63% de la valeur finale.
  • à la réponse vaut soit 99% de la valeur finale
  • à la réponse vaut soit approximativement 95% de la valeur finale, ce qui correspond au:
Temps de réponse à 5% d'un premier ordre


Réponse à une rampe

soit

La sortie s'écrit donc :

ce qui donne pour la réponse temporelle:

et

réponse temporelle à une rampe:

1er ordre rampe svg.svg

  • la tangente à l'origine est horizontale.
  • la courbe tend asymptotiquement vers la droite d'équation:
  • L'asymptote passe par le point d'abscisse
  • L'ordonnée à l'origine vaut

Remarque : L'asymptote est parallèle à l'entrée seulement si .

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