Fonction de transfert - Schéma bloc

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Représentation d'un système asservi

Fonction de transfert

Considérons un système régit par l'équation différentielle du second ordre suivante :


Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles (on peut toujours s'y ramener) et si on utilise le théorème de la dérivation (première et seconde), on obtient :

soit

On pose:

Fonction de transfert d'un système

H(p) est la “fonction de transfert” du système.

Sous cette forme, est une fraction rationnelle en . Si on nomme , les racines (complexes) des polynômes du numérateur et du dénominateur D(p), la fonction de transfert s'écrit:

Les sont les zéros de la fonction de transfert. Les sont les pôles de la fonction de transfert.


La fonction de transfert caractérise entièrement le système. Elle permet en particulier de calculer la sortie pour une entrée donnée:

  • Remarque 1: Le dénominateur est l'équation caractéristique de l'équation différentielle.
  • Remarque 2: Si on applique à l'entrée du système une impulsion unité, un "pic de Dirac", dont on a vu que la transformée vaut 1 (voir Transformation de Laplace des fonctions usuelles), on a S(p) = H(p) . 1 et s(t) = h(t), alors on peut dire que la fonction de transfert a la même expression que la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle.
  • Remarque 3 :La fonction de transfert est une fonction, la réponse est une grandeur physique, la transformée inverse de la fonction de transfert n'existe pas et n'aurait aucun sens physique.

Dans la pratique, on peut en déduire que la connaissance de la réponse à une impulsion permet de caractériser le système, c'est à dire connaître sa fonction de transfert, et donc suffit pour définir son comportement , quelle que soit l'entrée e(t).

  • Remarque 3: En expérimentation, on ne peut que s'approcher "suffisamment" d'un DIRAC, (amplitude infinie, durée nulle...), mais cette propriété est utilisée par les logiciels de simulation.
  • Remarque 4: Si on applique à l'entrée du système un échelon unitaire, dont on a vu que la transformée vaut , on a soit

Mode d'emploi: On applique a un système un signal d'entrée échelon. On observe l'évolution de la sortie s(t). On calcule S(p), ce qui permet donc également de déterminer la fonction de transfert, et est beaucoup plus facile à mettre en oeuvre.

Schémas blocs

C'est la représentation dans le domaine symbolique des systèmes élémentaires par leur fonction de transfert. On peut le construire directement en utilisant directement la modélisation des systèmes élémentaires par leur fonction de transfert.

Bloc de transmittance

C'est la représentation graphique d'un système dont la sortie est le produit de son entrée par sa transmittance (ou fonction de transfert)  :

Bloc H(p).svg

Exemples :

Type Schéma-bloc
gain Gain.svg
intégrateur pur Bloc 1surp.svg
premier ordre Bloc 1er ordre.svg

Sommateurs/comparateurs

C'est la représentation graphique de l'addition ou de la soustraction de signaux portés par différentes branches du schéma :

Type Schéma-bloc
comparateur

Comparateur.svg

sommateur

Sommateur.svg

Exemple : Système masse/ressort/amortisseur

  • Un solide de masse M est animé d'un mouvement de translation par rapport au bâti (Ro) grâce à une liaison glissière d'axe . Il est par ailleurs relié à un point fixe du bâti par une liaison visco-élastique que l'on peut modéliser par un ressort de raideur k et un amortisseur visqueux-linéaire de coefficient (l'effort résistant dû au frottement est proportionnel à la vitesse d'allongement).
  • On exerce sur ce solide un effort f(t).

Comment évolue l'abscisse du centre de gravité G de la masse M ?

Schema masse ressort amortisseur.PNG

Fonction de transfert

On cherche la fonction de transfert telle que :

Schema6.svg

En écrivant le théorème de la résultante dynamique appliqué à la masse en projection sur l'axe horizontal, on obtient :

Par transformation dans le domaine de Laplace :

Pour exprimer la fonction de transfert

On écrit :

Puis :

Ce qui constitue la fonction de transfert du système.

Schéma-bloc

On construit la somme des forces appliquées à la masse avec des comparateurs, en laissant l'entrée à gauche :

Schema1.svg

Cette somme étant égale à la résultante dynamique , on ajoute un bloc pour obtenir la sortie  :

Schema2.svg

On peut établir les deux forces et à partir de la sortie  :

Schema3.svg

Ce schéma représente le système masse ressort amortisseur décrit plus haut.

Réduction du schéma bloc

Grâce à l'algèbre des schémas-bloc, on peut réduire le schéma-bloc à un bloc unique dont la transmitance est la fonction de transfert du système.

Par réduction de la boucle interne (formule de Black),le schéma-bloc précédent se réduit à :

Schema4.svg

Par réduction de la boucle restante,le schéma-bloc devient :

Schema5.svg

On retrouve bien la fonction de transfert établie précédemment.


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