Définition et utilisation des torseurs

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Définitions

Champ de vecteur

Un champ de vecteur est une application qui définit un vecteur en tout point de l'espace.

exemples : champ de vecteurs vitesse, champ magnétique, champ de pesanteur....

Champ de vecteurs équiprojectif et Théorème de Varignon

Un champ de vecteurs équiprojectif est un champ de vecteurs qui répond à la propriété suivante :

Théorème de Varignon ou théorème de BABAR

ou est un vecteur caractéristique du champ de vecteur appelé "résultante".

et ou les sont les moments en chaque point P du champs de vecteurs.


Equiprojectivité

La propriété d'équiprojectivité d'un tel champ de vecteur est exprimée par le fait que deux moments et du champs de vecteurs ont la même projection sur la droite passant par les deux points A et B :

Equiprojectivite.PNG

On a

Démonstration : En partant du théorème de Varignon et en multipliant par , on obtient :

or est nul (produit mixte avec deux vecteurs égaux).

donc

Remarques:

  • La distribution des vecteurs vitesse dans un solide indéformable est un champ de vecteur équiprojectif puisque il respecte le théorème de Varignon;
  • L'équiprojectivité entre les vecteurs vitesse peut, donc, être utilisée pour les constructions graphiques.

Torseur

Un torseur est la représentation d'un champ de vecteurs équiprojectif, dont les vecteurs en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon.

Éléments de réduction d'un torseur

Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction" en un point quelconque P de l'espace, à savoir :

  • La résultante . Ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction.
  • Le moment en P du torseur, .

La résultante est donc un vecteur caractéristique du champ qui permet, à partir du moment en un point particulier, de retrouver les autres moments. De ce fait, les torseurs forment parmi les champs de vecteurs un sous-espace de dimension 6 (dans le cas de l'espace physique de dimension 3).

On écrit alors :

ou, en projetant la résultante et le moment sur un repère orthonormée R :

A retenir

où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment.

Invariants d'un torseur

Invariants d'un torseur

Un torseur possède deux grandeurs indépendantes du point ou on l'écrit:

  • l'invariant vectoriel : la résultante ;
  • l'invariant scalaire appelé aussi l'automoment : .

Torseurs particuliers

Le torseur à résultante ou glisseur est un torseur dont :

  • l'automoment est nul, c'est à dire que le résultante et le moment sont orthogonaux en tout points;
  • le moment est nul en tout point de de son axe.

Le torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle.


Opérations sur les torseurs

Egalité de deux torseurs

A retenir

et

Somme de deux torseurs

A retenir

Les deux torseurs doivent être exprimés au même point.


Multiplication d'un torseur par un scalaire

A retenir


Éléments centraux d'un torseur

Point central

Un point central d'un torseur est un point pour lequel la résultante et le moment sont colinéaires :

A retenir

Si alors P est un point central.

En P, le moment du torseur est minimum.

Détermination de l'axe central

A retenir

Soit un torseur : .

L'axe central du torseur est la droite parallèle à et passant par le point P tel que :