Composition de mouvements

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Définition

Quels que soient les solides , ,...., en mouvements relatifs, on peut écrire la relation de composition de mouvements suivante :

Composition de mouvements


Remarque : Cette somme de torseur n'a de sens que si tous les torseurs sont exprimés au même point.

Composition de vecteurs rotation

En séparant les éléments de réduction des torseurs dans la relation précédente, on peut écrire la loi de composition des vecteurs vitesse de rotation :

Jeu de lumiere.PNG
Composition des vitesses de rotation


Exemple : jeu de lumière

L'illustration ci-contre représente un jeu de lumière motorisé qui permet l'orientation du faisceau lumineux par rotation suivant deux axes de rotation et .

On peut donc écrire les vecteurs vitesse de rotations entre solides :


Et par composition des vecteurs vitesses de rotations :

Composition de vitesses (linéaires)

De la même manière que précédemment, on peut écrire une relation entre les moments des torseurs cinématiques composés :

Composition des vitesses


Remarque : Toutes ces vitesses sont les vitesses du même point M.

Exemple 1: Mouvements de translation parallèles

Soit un wagon 1 en translation par rapport au sol 0 et un passager 2 se déplaçant dans le wagon (dans le sens inverse de la marche du wagon).

Wagon.PNG

On remarque que l'on peut définir plusieurs points confondus avec le point I dans la position représentée (appelés points coïncidents):

  • fixe par rapport au wagon (1) et
  • fixe par rapport au passager (2);

On peut écrire la loi de composition de vitesses au point I entre les solides 0, 1 et 2 :


Loi de composition de vitesses

ou :

  • est la vitesse absolue;
  • est la vitesse d'entrainement;
  • est la vitesse relative;

Exemple 2: Poussoir à came - liaison avec glissement

Ce type de système de transformation de mouvement (rotation-translation) est utilisé dans les moteurs à combustion interne pour ouvrir et fermer les soupapes d'admission et d'échappement dans le cylindre. Sur le modèle cinématique représenté ci-dessous, on a :

  • la bati (0);
  • la came (1) en liaison pivot par rapport au bâti en O et en contact ponctuel avec le poussoir en I;
  • le poussoir en liaison pivot glissant avec le bati.

Poussoir a came.PNG

On remarque que l'on peut définir plusieurs points confondus avec le point I dans la position représentée (appelés points coïncidents):

  • fixe par rapport à la came (1) et
  • fixe par rapport au poussoir (2);

Ces points ont des trajectoires et vitesses différentes selon la référence de mesure. Ainsi:

  • est un cercle de centre 0 et de rayon OI car le solide I est en rotation de centre O. est donc perpenduculaire à OI.
  • est une droite horizontale passant par I car le solide I est en translation horizontale. est donc horizontale.
  • est une droite verticale passant par I car le point de contact se déplace donc le long de la surface du poussoir (la liaison ponctuelle entre 1 et 2 permet une translation verticale). est donc verticale. Cette vitesse est appelée "vitesse de glissement" entre 1 et 2 au point I.

On peut donc écrire la relation de composition de vitesses au point I entre les solides 0, 1 et 2 :

On peut construire cette relation de façon graphique sous forme de somme vectorielle (voir figure ci-dessus).

Exemple 3: Cas d'une liaison sans glissement

Ci-dessous la modélisation du système bielle-manivelle.

Schema cinematique bielle manivelle 2.PNG

On peut écrire la relation de composition de vitesse au point A entre les solides 0, 1 et 2 :

Evaluons la vitesse de glissement entre 1 et 2 en A. Le torseur cinématique de cette liaison pivot d'axe entre 1 et 2 est :

est donc forcement nulle. On a donc l'égalité :

De la même manière :

Roulement sans glissement

Deux solides roulent l'un par rapport à l'autre si :

  • ils sont en contact par une liaison permettant le roulement, c'est à dire une rotation et une translation suivants des axes orthogonaux. C'est le cas des liaisons ponctuelle et linéaire rectiligne.
  • on considère qu'il y a adhérence au niveau du contact. Il n'y a pas de glissement.

Le mouvement relatif des deux solides est donc une rotation combinée à une translation.

Roulement sans glissement en I entre le sol 0 et la roue 1

Exemple : Contact roue/sol d'un vélo

Roulement sans glissement.PNG

Roulement sans glissement

Si il y a roulement sans glissement en I (point de contact entre le solide 0 et le solide 1), on peut écrire :

I est donc le Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement de 1 / 0. L'axe de rotation instantané de la roue passe donc par I. Les vitesses des autres points du solide sont donc inscrites dans un triangle des vitesses pointant en I (plus le point de la roue est éloigné du CIR et plus sa vitesse est importante).

Remarque : O étant le centre de la liaison pivot avec le cadre du vélo, correspond à la vitesse du cadre du vélo par rapport au sol.

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