Trajectoire, vitesse et accélération

De WikiMéca
Aller à : navigation, rechercher

Trajectoire du point matériel[modifier]

La trajectoire d'un point matériel est le lieu géométrique des positions successives occupées par le point au cours du temps par rapport au repère choisi . Elle est définie par trois fonctions du temps : x(t) , y(t) et z(t) qui permettent de déterminer l'équation horaire du mouvement s = f(t) .

Vitesse (linéaire) d'un point[modifier]

La vitesse d'un point matériel est notée de la façon suivante pour toute la suite du cours :

A retenir

[math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math] signifie "vitesse du point A appartenant au solide S par rapport au référentiel R".

Le vecteur vitesse du point A du solide S est le vecteur lié d'origine A égal au vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur position [math]\overrightarrow {OA}[/math] dans le référentiel R:

{{A retenir|contenu= Le vecteur vitesse du point A du solide S est le vecteur lié d'origine A égal au vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur position [math]\overrightarrow {OA}[/math] dans le référentiel R:

[math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}=[ \frac {d \overrightarrow {OA}}{dt}]_R[/math] Cette vitesse est exprimée en m/s.

Remarque : La vitesse d'un point dépend du repère d'observation. Dans l'exemple ci-dessous, on ne considère que les mouvements du lacet et de l'épaule du robot (l'ensemble avant-bras+bras+poignet reste rigide).

Robot3ter.PNG

Ici, la vitesse du point P peut être exprimée de plusieurs manières différentes :

  • [math]\overrightarrow {V_{ P \in S_2/R_0 }}[/math] est la vitesse du point P observée dans le repère [math]R_0[/math] lié au socle 0. Cette vitesse est à priori non nulle pendant les mouvement du robot et est obtenue par [math]\overrightarrow {V_{ P \in S_2/R_0 }}=[ \frac {d \overrightarrow {O_0 P}}{dt}]_{R_0}[/math];
  • [math]\overrightarrow {V_{ P \in S_2/R_2 }}[/math] est la vitesse du point P observée dans le repère [math]R_2[/math] lié à l'avant-bras 2. Cette vitesse est à priori nulle pendant les mouvement du robot (considérés comme restreints à l'axe du lacet et à l'axe de l'épaule) et est obtenue par [math]\overrightarrow {V_{ P \in S_2/R_2 }}=[ \frac {d \overrightarrow {O_2 P}}{dt}]_{R_2}= \overrightarrow 0[/math], le vecteur [math]\overrightarrow {O_2 P}[/math] étant fixe dans [math]R_2[/math];

Pour calculer la dérivée d'un vecteur, voir la fiche : Outils de dérivation vectorielle

A retenir

Le vecteur vitesse d'un point P est, à chaque instant, tangent à la trajectoire de ce point.

Vitesse trajectoire.png

Accélération d'un point[modifier]

L'accélération à un instant donné d'un mobile A, considéré comme un point matériel, est le vecteur dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps dans le repère R.

A retenir

[math]\overrightarrow {\Gamma_{ A \in S/R }}=[ \frac {d^2 \overrightarrow {OA}}{dt^2}]_R=[ \frac {d \overrightarrow {V_{ A \in S/R }}}{dt}]_R[/math]

cette accélération est exprimée en \frac {}{². }

Vecteur vitesse de rotation[modifier]

Nous avons vu que dans un mécanisme, l'orientation d'un solide [math]S_1[/math] par rapport à un solide [math]S_0[/math] peut être repéré par un paramètre angulaire [math]\theta_{01}[/math]. Par dérivation de ce paramètre angulaire, on obtient une vitesse de rotation [math]\omega_{01}[/math] en rad/s Le vecteur vitesse de rotation entre [math]S_1[/math] et [math]S_0[/math], noté [math]\overrightarrow {\Omega_{1/0}}[/math] est construit de la façon suivante :

  • sa norme est [math]\omega_{01}[/math];
  • sa direction est l'axe de la rotation;
  • son sens correspond au sens direct (voir règle du tire-bouchon)

Vec vit rot.png

Exemple : Robot manipulateur- axe du lacet

Robot2.PNG

Dans la figure ci-dessus, le solide 1 est en rotation par rapport au socle 0 autour de l'axe [math]\overrightarrow z_0[/math] avec un angle [math]\Theta_{01}[/math].

Le vecteur vitesse de rotation de [math]S_1[/math] par rapport à [math]S_0[/math] s'écrit : [math]\overrightarrow {\Omega_{1/0}} = \dot \Theta_{01} \overrightarrow z_0[/math]

[math]\dot \Theta_{01}[/math] est la dérivée temporelle de [math]\Theta_{01}[/math].


Règle du tire-bouchon (de Maxwell):

La règle du tire bouchon de Maxwell permet de se figurer le sens positif ou négatif d'un angle (et donc d'une rotation) par rapport à un axe dans un repère direct.

En effet, si on fait correspondre la rotation d'un solide ou d'un repère à la rotation d'un tire-bouchon, le sens de l'enfoncement du tire-bouchon (vers le bouchon ou l'inverse) donne le signe de l'angle (de la rotation) : Si le sens d'enfoncement du tire bouchon correspond au sens de l'axe normal au plan de rotation, l'angle est positif. Il est donc négatif dans le cas inverse.

Tire-bouchon.png

Distribution de vitesse dans un solide indéformable[modifier]

La loi de distribution de vitesse dans un solide indéformable s'écrit:


Loi de distribution de vitesses

[math]\overrightarrow {V_{ B \in S/R }}=\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}+\overrightarrow {\Omega_{ S/R }} \wedge \overrightarrow {AB}[/math]

ou :

  • [math]\overrightarrow {\Omega_{ S/R }}[/math] est le vecteur rotation du solide, dont la norme est une vitesse de rotation en \frac {ra}{}et sa direction, l'axe de rotation du solide et qui est constant pour tous points du solide à l'instant t (solide indéformable);
  • [math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math]et [math]\overrightarrow {V_{ B \in S/R }}[/math] sont les vecteurs vitesse linéaire des points A et B du même solide S, dont la norme est en \frac {}{.

}



Cas particuliers de champs de vitesse[modifier]

Solide en translation[modifier]

Dans un solide en translation, [math]\overrightarrow {\Omega_{ S/R }}[/math] est nul en tous points. On obtient donc un champs de vecteur uniforme.


Dans un solide en translation

[math]\overrightarrow {V_{ B \in S/R }}=\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math]

quelques soient A et B.

Le champs de vecteurs vitesse est uniforme

Vitesse solide translation.PNG

Solide en rotation dans le plan[modifier]

Dans un solide en rotation pure dans le plan [math]\overrightarrow {x},\overrightarrow {y}[/math], on peut trouver un point O tel que [math]\overrightarrow {V_{ O \in S/R }}=\overrightarrow {0}[/math]. La vitesse d'un point A quelconque est obtenue à partir de la vitesse nulle en O en utilisant la loi de distribution de vitesses :

[math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}=\overrightarrow {V_{ O \in S/R }}+\overrightarrow {\Omega_{ S/R }} \wedge \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {\Omega_{ S/R }} \wedge \overrightarrow {OA}[/math]

Conséquences géométriques :

Dans un solide en rotation

- [math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math] est orthogonale à [math]\overrightarrow {OA}[/math] qui est aussi le rayon de la trajectoire du point A;

- La norme de [math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math] est proportionnelle à la longueur OA (rayon de la trajectoire). Les vecteurs vitesses sont donc inscrits dans un secteur dont le sommet est en O et dont l'ouverture [math]\alpha[/math] est constante pour tous points du solide. Ce secteur est appelé "triangle des vitesses".

Vitesse solide rotation.PNG

Solide en rotation pure dans l'espace[modifier]

Dans un solide en rotation pure dans l'espace, on peut trouver un axe [math]\Delta[/math] tel que pour tous points O de [math]\Delta[/math] [math]\overrightarrow {V_{ O \in S/R }}=\overrightarrow {0}[/math]. La vitesse d'un point A quelconque est obtenue à partir de la vitesse nulle en O en utilisant la loi de distribution de vitesses :

[math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}=\overrightarrow {V_{ O \in S/R }}+\overrightarrow {\Omega_{ S/R }} \wedge \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {\Omega_{ S/R }} \wedge \overrightarrow {OA}[/math]

Dans un solide en rotation (espace)

* [math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math] est orthogonale à [math]\overrightarrow {OA}[/math] qui est aussi le rayon de la trajectoire du point A et à [math]\Delta[/math], axe de rotation du solide.

  • La norme de [math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math] est proportionnelle à la distance A à [math]\Delta[/math] (rayon de la trajectoire). Les vecteurs vitesses sont donc inscrits dans un triangle des vitesses.

Vitesse solide rotation espace.PNG

Solide en mouvement quelconque[modifier]

Dans le cas général, un solide a un mouvement de translation combiné à un mouvement de rotation. Son mouvement dans un référentiel R est donc entièrement défini par :

  • [math]\overrightarrow {\Omega_{ S/R }}[/math] son vecteur rotation;
  • [math]\overrightarrow {V_{ A \in S/R }}[/math] le vecteur vitesse linéaire d'un point quelconque du solide S.

Pour exprimer mathématiquement le mouvement d'un solide, on utilise le torseur. Le torseur est un concept mathématique qui réunit ces deux éléments.