Torseur des actions mécaniques transmissibles par les liaisons normalisées

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Hypothèse des liaisons parfaites[modifier]

Dans cette partie du cours, on considère que les liaisons entre solides sont parfaites. C'est à dire :

  • Le contact entre les solides est sans frottement;
  • Les jeux entre les solides sont nuls.

Exemple : Torseur des actions mécaniques transmissibles dans une liaison pivot glissant[modifier]

Liaison pivot glissant (contact cylindre/cylindre)

On considère une liaison pivot glissant d'axe `(O,vec x)` entre les solides `S_1` et `S_2`.

Résultante du torseur[modifier]

Les actions mécaniques élémentaires de contact entre `S_1` et `S_2` étant considérées sans frottement, elles sont normales à la suface de contact locales entre `S_1` et `S_2`. En considérant la géométrie cylindrique du contact, cette normale est forcement dans le plan `(vec y,vec z)`.

La résultante des actions mécaniques de contact entre `S_1` et `S_2` a donc une composante nulle suivant `vec x`.

Moment en `vec x` du torseur[modifier]

définition de l'élément de surface ds

On a :

`vec(M_(O,S_1->S_2))=intint_s vec(OA)^^vec(df_(sA)) = intint_s (vec(OH)+vec(HA))^^p_A.vec n.ds`

Or `vec(HA)^^p_A.vec n.ds=vec 0` (vecteurs colinéaires).

`vec(M_(O,S_1->S_2))= intint_s vec(OH)^^p_A.vec n.ds`

En projetant sur `vec x`on obtient :

`vec(M_(O,S_1->S_2)).vec x= vec x.intint_s vec(OH)^^p_A.vec n.ds`

Or `vec n` et `vec x` sont orthogonaux.

`vec(M_(O,S_1->S_2)).vec x=vec 0` : La composante en `vec x` du moment résultant de cette liaison est nulle.

Torseur des actions mécaniques translmissibles par la liaison[modifier]

Finalement on peut écrire :

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0,0), (Y,M),(Z,N):}} _(0,R)

On remarque que les composantes nulles dans ce torseur ( X et L )correspondent aux mobilités permises par la liaison (translation et rotation selon `vec x`).

On peut donc généraliser cette démarche à toutes les liaisons normalisées.

Tableau des liaisons[modifier]

Liaison ponctuelle de centre O et de normale `vec n`

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Ponctuelle 3D.PNG Dans le repère

`R(vecx,vec(y),vec(z)=vec(n))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , V_x) , (omega_y , V_y), (omega_z , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0 , 0) , (O , O) , (Z , O):}} _(0,R)


Liaison appui-plan de normale `vec n`

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Appui plan 3D.PNG Dans le repère

`R(vecx,vec(y),vec (z)=vec(n))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(0 , V_x) , (0 , V_y) , (omega_z , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0 , L) , (O , M) , (Z , O):}} _(0,R)


Liaison pivot glissant d'axe `vec a` et de centre O

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Pivot glissant 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x = vec a,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , V_x) , (0 , 0) , (0 , 0):} }_(0 , R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0 , 0) , (Y , M) , (Z , N):}} _(0,R)


Liaison rotule de centre O

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Rotule 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , 0) , (omega_y , 0) , (omega_z , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(X , 0) , (Y , 0) , (Z , 0):}} _(0,R)


Liaison linéaire rectiligne d'axe `vec a` et de normale `vec(n)`

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Lineaire rectiligne 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x = vec a,vec(y),vec(z)=vec(n))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , V_x) , (0 , V_y) , (omega_z , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0 , 0) , (0 , M) , (Z , 0):}} _(0,R)


Liaison linéaire annulaire d'axe `vec a` et de centre O

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Lineaire annulaire 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x = vec a,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , V_x) , (omega_y , 0) , (omega_z , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0 , 0) , (Y , 0) , (Z , 0):}} _(0,R)

Liaison encastrement

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Encastrement 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x ,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(0 , 0) , (0 , 0) , (0 , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(X , L) , (Y , M) ,(Z , N):}} _(0,R)

Liaison pivot d'axe `vec a` et de centre O

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Pivot 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x = vec a,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , 0) , (0 , 0) , (0 , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(X , 0) , (Y , M) , (Z , N):}} _(0,R)


Liaison glissière d'axe `vec a`

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Glissiere 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x = vec a,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(0 , V_x) , (0 , 0) , (0 , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(0 , L) , (Y , M) , (Z , N):}} _(0,R)


Liaison hélicoïdale d'axe `vec a` et de centre O

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Helicoidale 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x = vec a,vec(y),vec(z))`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , V_x=p/(2.pi).omega_x) , (0 , 0) , (0 , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(X , L) , (Y , M) , (Z , N):}} _(0,R)

avec `L=+-(p/(2.pi)) X`


Liaison rotule à doigt de centre O Liaison hélicoïdale d'axe `vec a` et de centre O

Représentation
Torseur cinématique
Torseur des actions mécaniques transmissibles
Rotule a doigt 3D.PNG Dans le repère

`R(vec x ,vec(y),vec(z)= vec a)`

`{V_(S_2//S_1)}_O = {(omega_x , 0) , (omega_y , 0) , (0 , 0):} }_(0, R)`

`{T_(S_1->S_2)}_(O) = {(X , 0) , (Y , 0) , (Z , N):}} _(0,R)

Simplification du torseur des actions mécaniques transmissible dans un plan[modifier]

Beaucoup d'études peuvent être ramenées à un problème plan . C'est le cas si :

  • la géométrie du problème (les centres de liaisons) sont dans un plan P;
  • l'ensemble des résultantes d'effort en jeu sont contenu dans le même plan P;
  • les moments des torseurs d'effort sont normaux au plan P.


On peut alors émettre l'hypothèse que tous les torseurs d'action mécanique ne comportent que 3 composantes non-nulles : les deux composantes de la résultante contenues dans le plan d'étude, et la composante du moment normale au plan d'étude.

L'application du PFS sur un tel isolement ne donnera que 3 équations.



Exemple : système bielle-manivelle[modifier]

Soit le système bielle-manivelle représenté ci-dessous. On considère, pour ce ramener à un problème de statique que la liaison en O est bloquée et que l'on cherche le moment en O si on applique une force horizontale sur la pièce 3.

Schema cinematique bielle manivelle3.PNG

Le système bielle-manivelle représenté ci-dessus admet une simplification dans le plan `(O, vec(x), vec(y))` car tous les centres de liaisons sont contenus dans ce plan et les efforts mis en jeu ont soit :

  • des résultantes contenues dans `(O, vec(x), vec(y))`;
  • des moments normaux à `(O, vec(x), vec(y))`.

Le torseur d'effort de la liaison pivot-glissant d'axe `vec x` entre les solides 2 et 3 s'écrit dans l'espace :

`{T_(2->3)}_B = {(X_B, L_B), (Y_B, M_B), (0, 0):} }_B`

On peut le simplifier dans le plan `(O, vec(x), vec(y))` : `{T_(2->3)}_B = {(X_B, 0), (Y_B, 0), (0, 0):} }_B`

Remarque : Si on effectue l'étude complète sans la simplification, on aboutira de toutes façons à `L_B=0` et `M_B=0`. Ce type de raisonnement se généralise à tous les torseurs des liaisons et permet ainsi de minimiser le nombre d'inconnues statiques.

De même, on peut écrire le torseur simplifié de la liaison pivot en A : `{T_(2->1)}_A = {(X_A, 0), (Y_A, 0), (0, 0):} }_A`



centre d'intérêt:Statique des solides