Torseur cinématique

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Définition

Le torseur cinématique est le torseur représentant le champ de vecteurs vitesse d'un solide S dans le repère R.

  • Sa résultante est le vecteur vitesse de rotation du solide : [math] \overrightarrow{\Omega_{S/R}}[/math];
  • Son moment en un point P est le vecteur vitesse linéaire du point P : [math] \overrightarrow{V_{P \in S/R}}[/math].

On peut donc l'écrire de la façon suivante :

Torseur cinématique du solide S par rapport à R

[math]{V_{S/R}}_{P} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{S/R}} \\ \overrightarrow{V_{P \in S/R}} \end{array} \right \rbrace_{P} = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_{x} & v_{x} \\ \omega_{y} & v_{y} \\ \omega_{z} & v_{z} \end{array} \right \rbrace_{P}[/math]

Et on peut écrire ce torseur en un point quelconque du solide pour en obtenir sa vitesse en utilisant le théorème de Varignon.

Exemples de torseurs cinématiques

Mouvement de translation

Dans un mouvement de translation, [math] \overrightarrow{\Omega_{S/R}}[/math] est nul, donc :

[math]{V_{S/R}}_{P} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{V_{P \in S/R}} \end{array} \right \rbrace_{P} [/math]

Dans ce cas le torseur cinématique est un torseur couple.

Mouvement de rotation pure

Dans un mouvement de rotation pure, il existe des points A pour lesquels [math] \overrightarrow{V_{A \in S/R}} = \overrightarrow{0}[/math]. Alors le point A appartient à l'axe de rotation du solide. Si on exprime le torseur au point A :

[math]{V_{S/R}}_{A} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{S/R}} \\ \overrightarrow{0} \end{array} \right \rbrace_{A} [/math]

Attention : Ce torseur à un moment non-nul si on l'exprime en un point qui n'appartient pas à l'axe de rotation du solide.

[[Image:Torseur_{mvt_{rotation}}.PNG|800px]]

Dans ce cas, le torseur cinématique est un glisseur. Son automoment est nul.

Mouvement hélicoïdale

Un mouvement hélicoïdale est caractérisé par une rotation combinée à une translation, l'axe de rotation étant confondu avec la direction de la translation. Ce qui entraine que pour tout point A de l'axe de rotation, [math] \overrightarrow{V_{A \in S/R}}[/math] est colinéaire à [math] \overrightarrow{\Omega_{S/R}}[/math]. On peut prouver que le mouvement instantané d'un solide peut toujours être ramené à un mouvement de ce type. On peut donc écrire le torseur cinématique de S en A appartenant à l'axe de rotation de la façon suivante : [math]{V_{S/R}}_{A} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{\Omega_{S/R}} \\ \overrightarrow{V_{A \in S/R}} \end{array} \right \rbrace_{A} [/math] avec [math] \overrightarrow{V_{A \in S/R}}=\lambda. \overrightarrow{\Omega_{S/R}}[/math]

Pour tous autres points P du solide, le vecteur vitesse est une combinaison de [math] \overrightarrow{V_{A \in S/R}}[/math] et du terme [math] \overrightarrow{\Omega_{S/R}} \wedge \overrightarrow{AP}[/math] :

Torseur mvt helicoidal.PNG

Torseur cinématique d'une liaison

Chaque liaison entre 2 solides possède des mobilités (translations et/ou rotations) qui permettent des mouvements entre ces solides. Il est pratique de récapituler les mobilités permises par une liaison par son torseur cinématique. Les mobilités permises correspondent à une valeur non nulle dans le torseur ([math]\omega[/math] pour les rotation, [math]V[/math] pour les translations). Les mobilités impossibles correspondent à des 0 dans le torseur.

Exemple :

Pour la liaison linéaire annulaire d'axe [math] \overrightarrow{a}[/math] colinéaire à [math] \overrightarrow{x}[/math], on a :

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Lineaire annulaire 3D.PNG 4 mobilités :
  • 1 translation d'axe[math] \overrightarrow{a}[/math];
  • 3 rotations.
Lineaire annulaire schema2D.PNG Lineaire annulaire schema3D.PNG Dans le repère

[math]R( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})[/math]

[math]{V_{S_{2}/S_{1}}}_{O} = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_{x} & V_{x} \\ \omega_{y} & 0 \\ \omega_{z} & 0 \end{array} \right \rbrace_{0, R}[/math]