TD Ouvre-portail DOMOTICC - corrigé

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Établir le graphe de structure du système en montrant les efforts extérieurs `vec F_p` et `vec F_v`

Graphe structure portail Domoticc.png

Isoler la pièce 2 et déterminer une relation entre les inconnues de liaisons en C et D

La pièce 2 est soumise à 2 actions mécaniques issues des 2 liaisons rotule en C et D.

Torseur cinématique de la liaison rotule en C : `{V_(2//3)}_C = {(omega_x ,0) , (omega_y , 0) , (omega_z , 0) }_(C, R)`

Le torseur d'efforts est donc : `{T_(3->2)}_C = {(X_C,0),(Y_C,0),(Z_C,0)}_(C, R)`.

De la même manière : `{T_(1->2)}_D = {(X_D , 0 ), (Y_D , 0) , (Z_D , 0):} }_(D, R)`.

On transporte le torseur `{T_(3->2)}_C` vers D :

`vec (M_(D,3->2))=vec (M_(C,3->2))+ vec (DC)^^vec (R_(3->2))`

`= vec 0 -400. vec x ^^ (X_C vec x + Y_C vec y + Z_C vec z)`

`= -400.Y_C. vec z + 400.Z_C.vec y`

Finalement : `{T_(3->2)}_D = {(X_C , 0), (Y_C , 400.Z_C), (Z_C , -400.Y_C):} }_(C, R)`

Le principe fondamental de la statique nous donne :

`{T_(1->2)}_D + {T_(3->2)}_D = {0}`

d'où les 6 équations :

  • `X_C = -X_D`
  • `Y_C = -Y_D`
  • `Z_C = -Z_D`
  • `0 = 0`
  • `400.Z_C =0 => Z_C = 0`
  • `-400.Y_C =0 => Y_C = 0`

Résultat de l'isolement de la pièce 2

`X_C = -X_D`

et

`Y_C = Y_D = Z_C = Z_D =0`

Isoler le portail 3 et déterminer l'effort en C, En déduire l'effort en D

Modélisation des actions mécaniques

Le portail 3 subit 5 Actions mécaniques :

  • Liaison rotule en C

`{T_(2->3)}_C =-{T_(3->2)}_C={(-X_ , 0), (0 , 0), (0 , 0):} }_(C, R)`

  • Liaison rotule en A

`{V_(3//0)}_A = {(omega_x , 0), (omega_y , 0), (omega_z , 0):} }_(A, R)=>{T_(0->3)}_A = {(X_A , 0), (Y_A , 0), (Z_A , 0):} }_(A, R)`

  • Liaison linéaire annulaire d'axe `vec z` en B

`{V_(3//0)}_B = {(omega_x , 0), (omega_y , 0), (omega_z , V_z):} }_(B, R)=>{T_(0->3)}_B = {(X_B , 0), (Y_B , 0), (0 , 0):} }_(B, R)`

  • Force du vent en H

Cette action mécanique est modélisée par un glisseur d'axe `- vec x` : `{T_(vent->3)}_H = {(-800 , 0), (0 , 0), (0 , 0):} }_(H, R)`

  • Force de pesanteur en G

Cette action mécanique est modélisée par un glisseur d'axe `- vec z` : `{T_(pesanteur->3)}_G = {(0 , 0), (0 , 0), (-1000 , 0):} }_(G, R)`

Transport des torseurs au point A

  • `{T_(2->3)}_(C->A)`

`vec (M_(A,2->3))=vec (M_(C,2->3))+ vec (AC)^^vec (R_(2->3))`

`= vec 0 + |(0, ,-X_C),(800,^^,0),(800, ,0)|= |(0, ),(-800.X_C, ),(800.X_C, )|`

Le torseur devient : `{T_(2->3)}_A ={(X_C,0), (0,800.X_C), (0,-800.X_C):} }_(A, R)`

  • `{T_(0->3)}_(B->A)`

`vec (M_(A,0->3))=vec (M_(B,0->3))+ vec (AB)^^vec (R_(0->3))`

`= vec 0 + |(0, ,X_B),(0,^^,Y_B),(1000, ,0)|= |(-1000.Y_B, ),(1000.X_B, ),(0, )|`

Le torseur devient : `{T_(0->3)}_(B->A) ={(X_B,-1000.Y_B), (Y_B,1000.X_B), (0,0):} }_(A, R)`

  • `{T_(vent->3)}_(H->A)`

`vec (M_(A,vent->3))=vec (M_(H,vent->3))+ vec (AH)^^vec (R_(vent->3))`

`= vec 0 + |(0, ,-800),(1400,^^,0),(600, ,0)|= |(0, ),(-480000, ),(1120000, )|`

Le torseur devient : `{T_(vent->3)}_(H->A) ={(-800,0), (0,-480000), (0,1120000):} }_(A, R)`

  • `{T_(pesanteur->3)}_(G->A)`

`vec (M_(A,pesanteur->3))=vec (M_(G,pesanteur->3))+ vec (AG)^^vec (R_(pesanteur->3))`

`= vec 0 + |(0, ,0),(1200,^^,0),(500, ,-1000)|= |(-1200000, ),(0, ),(0, )|`

Le torseur devient : `{T_(pesanteur->3)}_(G->A) ={(0,-1200000), (0,0), (-1000,0):} }_(A, R)`

Application du Principe fondamental de la statique

`{(X_A,0), (Y_A,0), (Z_A,0):} }_(A, R)+{(-X_C,0), (0,-800.X_C), (0,800.X_C):} }_(A, R)+{(X_B,-1000.Y_B), (Y_B,1000.X_B), (0,0):} }_(A, R)+{(-800,0), (0,-480000), (0,1120000):} }_(A, R)+{(0,-1200000), (0,0), (-1000,0):} }_(A, R)={0}`

Ceci donne les 6 équations suivantes :

  1. `X_A-X_C+X_B-800=0`
  2. `Y_A+Y_B=0`
  3. `Z_A-1000=0`
  4. `-1000.Y_B-1200000=0`
  5. `-800.X_C+1000.X_B-480000=0
  6. `800.X_C+1120000=0`

Résolution :

3 `=> Z_A=1000 N`

4 `=> Y_B=-1200000/1000=-1200 N`

6 `=> X_C=-1120000/800= -1400 N`

5 `=> X_B= (480000-800.1400)/1000=-640 N`

2 `=> Y_A=-Y_B=1200 N`

1 `=> X_A=-X_C-X_B+800=-1400+640+800=40 N`

Par ailleurs, en réutilisant les équation obtenues à l'isolement de la pièce 2: `X_C=-X_D`

On obtient le torseur d'efforts dans la liaison rotule en D : `{T_(1->2)}_D ={(1400 N,0), (0,0), (0,0):} }_(D, R)`


Résultat de l'isolement de la pièce 3

La résolution donne les valeurs d'inconnues statiques suivantes :

  • `{T_(2->3)}_C ={(-1400 N,0), (0,0), (0,0):} }_(C, R)`
  • `{T_(0->3)}_A = {(40 N,0), (1200 N,0), (1000 N,0):} }_(A, R)`
  • `{T_(0->3)}_B = {(-640 N,0), (-1200 N,0), (0,0):} }_(B, R)`

et

  • `{T_(1->2)}_D ={(1400 N,0), (0,0), (0,0):} }_(C, R)`

Isoler la pièce 1 et déterminer le couple dans le moto-réducteur

La pièce 1 subit 2 actions mécaniques :

  • `{T_(2->1)}_D =-{T_(1->2)}_D ={(-1400 N,0), (0,0), (0,0):} }_(D, R)`
  • Liaison encastrement en E :

La liaison encastrement ne permettant aucune mobilité, son torseur d'efforts est de la forme :

`{T_(0->1)}_E = {(X_E,L_E), (Y_E,M_E), (Z_E,N_E):} }_(E, R)`

Transport de `{T_(2->1)}_(D->E)`

`vec (M_(E,2->1))=vec (M_(D,2->1))+ vec (ED)^^vec (R_(2->1))`

`= vec 0 + |(0, ,-1400),(800,^^,0),(0, ,0)|= |(0, ),(0, ),(1120000, )|`

Le torseur devient : `{T_(2->1)}_E ={(-1400,0), (0,0), (0,1120000):} }_(E, R)`

Application du PFS :

`{(X_E,L_E), (Y_E,M_E), (Z_E,N_E):} }_(E, R)+{(-1400,0), (0,0), (0,1120000):} }_(E, R)={0}`

Ce qui donne directement :

  • `X_E=1400 N`
  • `Y_E=Z_E=L_E=M_E=0`
  • `N_E=-1120000 N.mm`


Résultat de l'isolement de la pièce 1

Le torseur d'effort dans la liaison encastrement en E est :

`{T_(0->1)}_E = {(1400,0), (0,0), (0,-1120000):} }_(E, R)`

Le moment à fournir par le motoréducteur pour maintenir le portail soumis au vent en équilibre statique est de `-1120000 N.mm = -1120 N.m`.


centre d'intérêt:Statique des solides