TD - Centre de gravité d'un secteur de disque - Corrigé

De WikiMéca
Aller à : navigation, rechercher

1.

Secteur corrige.png

L'élément de surface vaut `ds = dr.r.d theta`

Le centre de gravité est donné par : ` V vec(OG) = intintint_v vec (OA_i)dv ` pour un solide homogène

L'epaisseur étant constante, on peut écrire :

` S vec(OG) = intint_S vec (OA_i)ds `

La position du centre de gravité de l'élément de surface `ds` est donné par `vec (OA_i)=r.cos theta. vec x + r.sin theta. vec z`

donc : ` S vec(OG) = intint_S r.cos theta.ds. vec x + intint_S r.sin theta.ds. vec z`

`=int_0^R int_0^alpha r.cos theta.r.dr.d theta. vec x + int_0^R int_0^alpha r.sin theta.r.dr.d theta. vec z`

`=int_0^R r^2.dr int_0^alpha cos theta.d theta. vec x + int_0^R r^2.dr int_0^alpha sin theta.d theta. vec z`

`=R^3/3 sin alpha. vec x + R^3/3 (1 - cos alpha) vec z` avec `S=R^2/2 alpha`

donc :

Position du centre de gravité

`vec (OG) = (2.R)/(3.alpha) (sin alpha. vec x + (1- cos alpha ). vec z)`

2.

Si `alpha = pi/2` : `vec (OG) = (4.R)/(3.pi) ( vec x + vec z)`

3.

Avec le théorème de Guldin

pour `alpha = pi/2`, la surface est un quart de cercle de surface `S=(pi.R^2)/4`. Par rotation autour de l'axe `vec z`, le volume engendré est une demi-sphère de volume `V=(2.pi.R^3)/3`.

Le second théorème de guldin nous donne la relation : `V = 2.pi.S.r_G` où `r_G` est la distance du centre de gravité du quart de cercle par rapport à l'axe des `vec z`.

On obtient : `r_G = (4.R)/(3.pi)` ce qui correspond au résultat de la question 2.


centre d'intérêt:Statique des solides