Systèmes du second ordre

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Un système du second ordre est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Celle-ci peut se mettre sous la forme générale [math]a_{0} e(t) = b_{2} s''(t) + b_{1} s'(t) + b_{0} s(t)[/math]

Fonction de transfert[modifier]

On a vu précédemment que sous réserve que les conditions initiales soient nulles, la fonction de transfert du système peut s'écrire:

[math]H(p) = \frac {a_{0}}{b_{2} p^{2} + b_{1} p + b_{0}}[/math] (Remarque tous les coefficients sont positifs)

Que l’on peut la mettre sous forme canonique (forme en "[math]\omega_{n}[/math] ") :

Forme canonique - système du second ordre

[math]H(p) = G.\omega _{n} \frac {^{2}}{p^{2} + 2z\omega _{n} p + \omega _{n} ^{2}} [/math]

avec :

  • [math]G[/math] : Gain statique;
  • [math]\omega _{n}[/math] : Pulsation naturelle (ou pulsation propre non-amortie);
  • [math]z[/math] : Coefficient d'amortissement.

On trouve la valeur des coefficients par identification : [math]\omega_{n^{2}} = \frac {b_{0}}{b_{2}} [/math] , pour [math]p \to 0[/math] on trouve [math]G = \frac {a_{0}}{b_{0}}[/math] puis on calcule [math]2z\omega _{n} = \frac {b_{1}}{b_{2}} [/math]

Les racines du dénominateur p_{1} et p_{2} sont les pôles de [math]H(p)[/math] : [math]p^{2} + 2z\omega _{n} p + \omega _{n} ^{2} = (p - p_{1} )(p - p_{2} )[/math]

Les pôles sont réels ou complexes suivant le signe du discriminant [math]\Delta = 4\omega _{n} ^{2}(z^{2} - 1)[/math]

On aura donc trois cas suivant les valeurs de z : z>1 ; z=1 ; z<1

premier cas : z > 1 ([math]\Delta \gt 0[/math]) - Régime apériodique[modifier]

Dans ce cas les deux pôles sont réels et négatifs (somme < 0 et produit > 0 )

On pose [math]p_{1} = - 1/\tau_{1}[/math] et [math]p_{2} = - 1/\tau_{2}[/math] , ce qui permet d’écrire :

Pour [math]z \gt 1[/math] ([math]\Delta \gt 0[/math])

[math]H(p) = \frac {G}{(1 + \tau _{1} p).(1 + \tau _{2} p)}[/math]

Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série.


    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math]G[/math]
    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{1+\tau_{1} p}[/math]
    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{1+\tau_{2} p}[/math]
    
Fleche droite3.PNG


On a [math]p_{1} .p_{2} = \omega _{n} ^{2} [/math] (points conjugués)

on pose [math]\tau _{1} .\tau _{2} = \tau _{n} ^{2} = 1/\omega _{n} ^{2} [/math]

On peut calculer [math]2z = \frac {\tau _{1} + \tau _{2} }{\sqrt {\tau _{1} .\tau _{2} } }[/math]

Position des pôles dans le plan complexe : Nyquist2.PNG

Réponse à une entrée échelon: [math] \frac {E_{0}}{p}[/math][modifier]

[math]S(p) = E_{0} G.[\frac {1}{p(1 + \tau _{1} p)(1 + \tau _{2} p)}] [/math]

dont la transformée inverse est: [math]s(t) = E_{0} G[ 1 + \frac {1}{\tau _{2} - \tau _{1} }( \tau _{1}.e^{-t/\tau _{1}} - \tau _{2}.e^{-t/\tau _{2}})]*u(t)[/math]


En fonction des valeurs numériques de [math]\tau _{1}[/math] et [math]\tau _{2}[/math], on peut calculer le facteur d’amortissement [math]z[/math] et pour plusieurs valeurs de [math]z[/math], on obtient les courbes ci-après. Il est intéressant de comparer à chaque fois le résultat avec la réponse à un échelon [math]S^{1} (p)[/math] d’un système du premier ordre dont la constante de temps est égale à la plus grande des constantes de temps (par exemple [math]\tau _{2}[/math] ) : [math]S^{1} (p) = E_{0} G.(1 - e^{-t/\tau _{2}})[/math]

En trait pointillés la réponse du système du premier ordre démarre avec une tangente dont la pente vaut [math]\frac {G}{\tau_{2}}[/math].

En trait fort la réponse du système du deuxième ordre démarre avec une tangente horizontale.

[math]G=1 [/math]

[math]\tau_{1}=1 [/math]

[math]\tau_{2}=2 [/math]

[math]=\gt z=1,06[/math]


[math]G=1[/math]

[math]\tau_{1}=0,2 [/math]

[math]\tau_{2}=2 [/math]

[math]=\gt z=1,74[/math]

On constate, sur cette deuxième courbe, que la réponse se rapproche davantage encore de celle d'un système du premier ordre. C'est la constante de temps la plus grande qui ralentit le système.

Deuxième cas z = 1 ([math]\Delta = 0[/math]) - Amortissement critique[modifier]

  • On a une racine double réelle négative.
  • On pose [math]p_{1} = p_{2} = - \omega _{n} [/math] et [math]\omega _{n} = 1/\tau[/math].

[math] \omega _{n} [/math] est la pulsation naturelle (ou encore pulsation propre non amortie).

On peut alors mettre la fonction sous la forme :

Pour [math]z = 1[/math] ([math]\Delta = 0[/math])

[math]H(p) = \frac{G\omega _{n} ^{2} }{p^{2} + 2z\omega _{n} p + \omega _{n} ^{2}} = G.\frac{\omega _{n} ^{2} }{(p + \omega _{n} )^{2} }[/math]

Nyquist3.PNG

Réponse à une entrée échelon unitaire[modifier]

[math]S(p) = G.\frac{1}{p}.\frac{\omega _{n} ^{2} }{(p + \omega _{n} )^{2} }[/math] en décomposant en éléments simples :

[math]S(p) = G. [\frac {1}{p} + \frac {- 1}{p + \omega _{n}} + \frac {- \omega _{n}}{(p + \omega _{n} )^{2}}][/math]

Dont la transformation de Laplace inverse est :[math]s(t) = G. [1 - e^{ \frac {- t}{\tau }} - \frac{t}{\tau }e^{\frac{- t}{\tau } } ]u(t) = G[1 - e^{\frac{ - t}{\tau }} (1 + \frac{t}{\tau })]u(t)[/math] avec [math]\tau = 1/\omega_{n}[/math]

[math]G=1 [/math]

[math]\tau=2 [/math]

Troisième cas z < 1 ([math]\Delta \lt 0[/math]) - Régime périodique[modifier]

Le discriminant est négatif, les pôles sont complexes conjugués.


Nyquist4.PNG

Réponse à un échelon unitaire[modifier]

On part de la même équation:[math]H(p) = \frac{G\omega _{n} ^{2} }{p^{2} + 2z\omega _{n} p + \omega _{n} ^{2} }[/math]

[math]S(p) = \frac{1}{p}.H(p)[/math]

[math]\Delta = 4\omega _{n} ^{2} (z^{2} - 1)[/math] .... négatif

[math]p_{1} = \omega _{n} ( - z - i\sqrt {1 - z^{2} } )[/math]

[math]p_{2} = \omega _{n} ( - z + i\sqrt {1 - z^{2} } )[/math]

On pose (pour plus tard…) [math]z = - \sin (\varphi ) [/math] et [math] \sqrt {1 - z^{2} } = \cos (\varphi )[/math]


On obtient une sortie s(t) de la forme :[math]s(t) = G.[ 1 - \frac{e^{ - z\omega _{n} t} } {\sqrt {1 - z^{2}} } \cos (\omega t + \varphi ) ][/math]

Dans laquelle on trouve les caractéristiques suivantes :

Pulsation amortie ou pseudo-pulsation

Pour identifier S(p) aux formes des transformées de Laplace ayant un dénominateur de la forme [math](p + a)^{2} + \omega ^{2} [/math], il faut poser : [math]\omega ^{2} = \omega _{n} ^{2} (1 - z^{2} ) [/math]

[math]\omega[/math] est la pulsation amortie, ou encore pseudo-pulsation.


Déphasage [math]\varphi[/math]

L'angle de déphasage [math]\varphi[/math] est défini par : [math]\varphi = arcsin(-z)[/math]

Première courbe de réponse: z=0,2

la sinusoïde est peu amortie

On peut encadrer la courbe entre

deux exponentielles décroissantes :

[math]1 + e^{ - z\omega _{n} t}[/math] et [math]1 - e^{ - z\omega _{n} t}[/math]


Deuxième courbe de réponse: z=0,5

la sinusoïde est plus amortie



Remarque :la tangente à l'origine est toujours horizontale.

Premier dépassement[modifier]

Le premier dépassement a lieu quand la dérivée [math]s'(t)[/math] est nulle… On dérive donc [math]s(t)[/math] :

[math]s'(t) = G.E_{0} { \frac{z\omega _{n} } {\sqrt {1 - z^{2} } }e^{ - z\omega _{n} t} .\cos (\omega .t + \varphi ) + \frac{1} {\sqrt {1 - z^{2} } }e^{ - z\omega _{n} t} .\omega .\sin (\omega .t + \varphi )} = 0[/math] …dans laquelle [math]\omega = \omega _{n} \sqrt {(1 - z^{2} } )[/math]


Le premier dépassement a lieu pour [math]\omega .t = \pi [/math]


REMARQUE : Entre le premier dépassement et le deuxième, on mesure la pseudo période: [math]T = \frac{2\pi } {\omega }[/math]


Valeur du premier dépassement pour [math]\omega .t = \pi [/math] : (le dépassement est [math]D = s_{(D)} - s_{(t \to \infty )} = s_{(D)} - G.E_{0} [/math] )

et il vaut:

Premier dépassement

[math]D = G.E_{0} .e^{\frac{ - z\pi }{\sqrt {1 - z^{2} } } } [/math]


Valeur particulière de z pour optimiser la rapidité (avec dépassement)

[math]z = \frac{\sqrt 2 } {2} \simeq 0,7[/math] , meilleur compromis entre rapidité et dépassement, donne un dépassement relatif (ou indiciel) "d" : [math]d = \frac{D}{G.E_{0} } = .e^{ - \pi } = 0,043 = 4,3\% [/math] C'est la réponse la plus rapide si le cahier des charges tolère un dépassement.

Réponse à un échelon unitaire d'un système avec un amortissement z=0,7 :

On remarque que le premier dépassement reste contenu à la limite de la bande à +- 5% de la valeur finale permettant la mesure du temps de réponse. Cette réponse est donc la plus rapide possible si on tolère le dépassement.

Si le dépassement n'est pas toléré, la réponse la plus rapide est pour z=1 (régime critique).