Système du second ordre

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Un système du second ordre est régi par une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Celle-ci peut se mettre sous la forme générale `a_0 e(t) = b_2 s(t) + b_1 s'(t) + b_0 s(t)`

Fonction de transfert

On a vu précédemment que sous réserve que les conditions initiales soient nulles, la fonction de transfert du système peut s'écrire:

`H(p) = a_0/(b_2 p^2 + b_1 p + b_0)` (Remarque tous les coefficients sont positifs)

Que l’on peut la mettre sous forme canonique (forme en "`omega_n` ") :

Forme canonique - système du second ordre

`H(p) = G.((\omega _n ^2)/(p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 ))`

avec :

  • `G` : Gain statique;
  • `omega _n` : Pulsation naturelle (ou pulsation propre non-amortie);
  • `z` : Coefficient d'amortissement.

On trouve la valeur des coefficients par identification : `\omega_n^2 = b_0 /b_2 ` , pour `p \to 0` on trouve `G = a_0 /b_0` puis on calcule `2z\omega _n = b_1 /b_2 `

Les racines du dénominateur p_1 et p_2 sont les pôles de `H(p)` : `p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 = (p - p_1 )(p - p_2 )`

Les pôles sont réels ou complexes suivant le signe du discriminant `\Delta = 4\omega _n ^2(z^2 - 1)`

On aura donc trois cas suivant les valeurs de z : z>1 ; z=1 ; z<1

premier cas : z > 1 (`\Delta > 0`) - Régime apériodique

Dans ce cas les deux pôles sont réels et négatifs (somme < 0 et produit > 0 )

On pose `p_1 = - 1/\tau_1` et `p_2 = - 1/\tau_2` , ce qui permet d’écrire :

Pour `z > 1` (`\Delta > 0`)

`H(p) = G/((1 + \tau _1 p).(1 + \tau _2 p))`

Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série.


    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
G
    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
`1/(1+tau_1 p)`
    
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
`1/(1+tau_2 p)`
    
Fleche droite3.PNG


On a `p_1 .p_2 = \omega _n ^2 ` (points conjugués)

on pose `\tau _1 .\tau _2 = \tau _n ^2 = 1/\omega _n ^2 `

On peut calculer `2z = \frac {\tau _1 + \tau _2 }{\sqrt {\tau _1 .\tau _2 } }`

Position des pôles dans le plan complexe : Nyquist2.PNG

Réponse à une entrée échelon: `E_0/p`

`S(p) = E_0 G.[1 /(p(1 + \tau _1 p)(1 + \tau _2 p))] = E_0 G.[ A/p + B/(1 + \tau _1 p) + C/(1 + \tau _2 p)]` en décomposant `S(p)`en éléments simples.

On calcule : `A = 1`; `B = \tau _1 ^2 /(\tau _2 - \tau _1)`; `C = - (\tau _2 ^2 )/(\tau _2 - \tau _1 )`

`S(p) = E_0 G[ 1/p + 1/(\tau _2 - \tau _1)( \tau _1^2 /(1 + \tau _1 p) - \tau _2^2/(1 + \tau _2 p))]`

dont la transformée inverse est: `s(t) = E_0 G[ 1 + 1 / (\tau _2 - \tau _1 )( \tau _1.e^(-t/\tau _1) - \tau _2.e^(-t/\tau _2))]*u(t)`


En fonction des valeurs numériques de `\tau _1` et `\tau _2`, on peut calculer le facteur d’amortissement `z` et pour plusieurs valeurs de `z`, on obtient les courbes ci-après. Il est intéressant de comparer à chaque fois le résultat avec la réponse à un échelon S^1(p) d’un système du premier ordre dont la constante de temps est égale à la plus grande des constantes de temps (par exemple `\tau _2` ) : `S^1 (p) = E_0 G.(1 - e^(-t/\tau _2))`

En trait pointillés la réponse du système du premier ordre démarre avec une tangente dont la pente vaut K/t2.

En trait fort la réponse du système du deuxième ordre démarre avec une tangente horizontale.

`G=1 `

`tau_1=1 `

`tau_2=2 `

`=> z=1,06`


`G=1`

`tau_1=0,2 `

`tau_2=2 `

`=> z=1,74`

On constate, sur cette deuxième courbe, que la réponse se rapproche davantage encore de celle d'un système du premier ordre. C'est la constante de temps la plus grande qui ralentit le système.

Deuxième cas z = 1 (`\Delta = 0`) - Amortissement critique

  • On a une racine double réelle négative.
  • On pose `p_1 = p_2 = - \omega _n ` et `\omega _n = 1/\tau`.

` \omega _n ` est la pulsation naturelle (ou encore pulsation propre non amortie).

On peut alors mettre la fonction sous la forme :

Pour `z = 1` (`\Delta = 0`)

`H(p) = \frac{G\omega _n ^2 }{p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2} = G.\frac{\omega _n ^2 }{(p + \omega _n )^2 }`

Nyquist3.PNG

Réponse à une entrée échelon unitaire

`S(p) = G.\frac{1}{p}.\frac{\omega _n ^2 }{(p + \omega _n )^2 }` en décomposant en éléments simples :

`S(p) = G. [\frac{\alpha }{p} + \frac{\beta }{p + \omega _n } + \frac{\gamma }{(p + \omega _n )^2 } ]`

Par identification on trouve : `\alpha = 1; \beta = - 1; \gamma = - \omega _n `

`S(p) = G. [1/p + (- 1)/(p + \omega _n) + (- \omega _n)/((p + \omega _n )^2)]`

On utilise la transformation de Laplace inverse pour la réponse temporelle :`s(t) = G. [1 - e^((- t)/(\tau )) - \frac{t}{\tau }e^{\frac{- t}{\tau } } ]*u(t) = G[1 - e^{\frac{ - t}{\tau }} (1 + \frac{t}{\tau })]*u(t)`

`G=1 `

`tau=2 `

Troisième cas z < 1 (`\Delta < 0`) - Régime périodique

Le discriminant est négatif, les pôles sont complexes conjugués.

On part de la même équation:`H(p) = \frac{G\omega _n ^2 }{p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 }`

Nyquist4.PNG

Réponse à un échelon unitaire

`S(p) = \frac{1}{p}.H(p)`

`\Delta = 4\omega _n ^2 (z^2 - 1)` .... négatif

`p_1 = \omega _n ( - z - i\sqrt {1 - z^2 } )`

`p_2 = \omega _n ( - z + i\sqrt {1 - z^2 } )`

On pose (pour plus tard…) `z = - \sin (\varphi ) ` et ` \sqrt {1 - z^2 } = \cos (\varphi )`

Pour faire le calcul, on ajoute et en retranche au numérateur la quantité :`p^2 + 2z\omega _n p`

`S(p) = G.\frac{1}{p}.\frac{ [p^2 + 2z\omega _n p ] + \omega _n ^2 - [ p^2 + 2z\omega _n p ]} {p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 } = G.[\frac{1}{p} - \frac{p^2 + 2z\omega _n p}{p(p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 )}]`

On simplifie par "p" … puis on ajoute et en retranche au dénominateur la quantité :`z^2\omega _n ^2`

`S(p) = G.[\frac{1}{p} - \frac{p + 2z\omega _n }{(p^2 + 2z\omega _n p + \omega _n ^2 )+ z^2 \omega _n ^2 - z^2 \omega _n ^2 }]`

`S(p) = G.[\frac{1}{p} - \frac{p + z\omega _n + z\omega _n }{(p + z\omega _n )^2 + \omega _n ^2 (1 - z^2)} ]

`S(p) = G.[ \frac{1}{p} - \frac{p + z\omega _n }{(p + z\omega _n )^2 + \omega _n ^2 (1 - z^2 )} + \frac{z\omega _n }{(p + z\omega _n )^2 + \omega _n ^2 (1 - z^2 )} ]`

Pulsation amortie ou pseudo-pulsation

Pour identifier S(p) aux formes des transformées de Laplace ayant un dénominateur de la forme `(p + a)^2 + \omega ^2 `, il faut poser :

`\omega ^2 = \omega _n ^2 (1 - z^2 ) `

`omega` est la pulsation amortie, ou encore pseudo-pulsation.

`\frac{p + z\omega _n }{(p + z\omega _n )^2 + \omega _n ^2 (1 - z^2 )} ` est de la forme `\frac{p + a}{(p + a)^2 + \omega ^2 }` (Décroissance exponentielle d'une sinusoïde)

`\frac{z\omega _n }{(p + z\omega _n )^2 + \omega _n ^2 (1 - z^2 )} = \frac{\text{z}}{\sqrt {1 - z^2 } }\frac{\omega }{(p + z\omega _n )^2 + \omega ^2 }` est de la forme `\frac{\omega }{(p + a)^2 + \omega ^2 }` (Décroissance exponentielle d'une cosinusoïde).

En utilisant les transformées usuelles: `s(t) = G.[1 - e^{ - z\omega _n t} ( \cos (\omega _n \sqrt {1 - z^2 } .t) + \frac{z}{\sqrt {1 - z^2 }}\sin (\omega _n \sqrt {1 - z^2 } .t) )]`

En posant: `\sin (\varphi ) = - z ` et `\cos (\varphi ) = \sqrt {1 - z^2 }`

`s(t) = G.[ 1 - \frac{e^{ - z\omega _n t} } {\sqrt {1 - z^2} }( \cos (\omega t + \varphi } )]`

Déphasage `\varphi`

L'angle de déphasage `\varphi` est défini par : `\varphi = arcsin(-z)`

Première courbe de réponse: z=0,2

la sinusoïde est peu amortie

On peut encadrer la courbe entre

deux exponentielles décroissantes :

`1 + e^{ - z\omega _n t}` et `1 - e^{ - z\omega _n t}`


Deuxième courbe de réponse: z=0,5

la sinusoïde est plus amortie


Troisième courbe de réponse: z=0,707

la sinusoïde est trés amortie,

elle se rapproche du cas z=1


Remarque : dans ces trois cas, la tangente à l'origine est toujours horizontale.

Premier dépassement

Le premier dépassement a lieu quand la dérivée `s'(t)` est nulle… On dérive donc `s(t)` :

`s'(t) = G.E_0 { \frac{z\omega _n } {\sqrt {1 - z^2 } }e^{ - z\omega _n t} .\cos (\omega .t + \varphi ) + \frac{1} {\sqrt {1 - z^2 } }e^{ - z\omega _n t} .\omega .\sin (\omega .t + \varphi )} = 0` …dans laquelle `\omega = \omega _n \sqrt {(1 - z^2 } )`

en simplifiant les termes non nuls: … `s'(t) = A[z.\cos (\omega .t + \varphi ) + \sqrt {(1 - z^2 } ).\sin (\omega .t + \varphi )]`


la dérivée s'(t) s'annule pour la valeur t: ` - \sin (\varphi ).\cos (\omega .t + \varphi ) + \cos (\varphi ).\sin (\omega .t + \varphi ) = 0`


c'est-à-dire: `\sin (\varphi - \omega .t - \varphi ) = 0`

  • soit: `\sin (\omega .t) = 0`
  • soit: `\omega .t = 0,modulo \pi `

Le premier dépassement a lieu pour `\omega .t = \pi `


REMARQUE : Entre le premier dépassement et le deuxième, on mesure la pseudo période: `T = \frac{2\pi } {\omega }`


Valeur du premier dépassement pour `\omega .t = \pi ` : (le dépassement est `D = s_{(D)} - s_{(t \to \infty )} = s_{(D)} - G.E_0 ` ) avec `s_{(D)} = s_{(pourt = \pi /\omega )} = G.E_0 { 1 - \frac{1} {\sqrt {1 - z^2 } }e^{\frac{ - z.\pi } {\sqrt {1 - z^2 } }} [ \cos (\pi + \varphi ) ]} `

`s_{(D)} = G.E_0 {1 + \frac{1} {\sqrt {1 - z^2 } }e^{\frac{ - z\pi } {\sqrt {1 - z^2 } }} \cos (\varphi )} ` …. or on avait posé `\sqrt {1 - z^2 } = \cos (\varphi )`

d'où: `s_{(D)} = G.E_0 .(1 + e^{\frac{ - z\pi } {\sqrt {1 - z^2 } }} )` et le dépassement vaut:

Premier dépacement

`D = G.E_0 .e^{\frac{ - z\pi }{\sqrt {1 - z^2 } } } `


La valeur particulière : `z = \frac{\sqrt 2 } {2}\varphi = 45^\circ z = \sqrt {1 - z^2 } ` , bon compromis entre rapidité et dépassement, donne un dépassement relatif (ou indiciel) "d" : `d = \frac{D} {G.E_0 } = .e^{ - \pi } = 0,043 = 4,3\% `