Système du premier ordre

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Définition[modifier]

C'est un système dont le comportement est régi par une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Celle-ci peut se mettre sous la forme générale [math]s(t)+\tau .s'(t)=G.e(t)[/math]


Fonction de transfert[modifier]

Si toutes les conditions initiales sont nulles (conditions dites "d'Heaviside", auxquelles on peut se ramener par un changement de variable approprié), la fonction de transfert est obtenue par transformation (par la transformée de Laplace) dans le domaine symbolique, de l'équation différentielle:

[math]s(t)+\tau .s'(t)=G.e(t)\text{ }\mapsto \text{ S}(p)+\tau .p.S(p)=G.E(p)[/math]


résultat qu'on peut mettre sous la forme [math]\text{S}(p)=E(p).H(p)[/math]

avec

Forme de la fonction de transfert d'un système du premier ordre

[math]H(p)=G.\frac{1}{1+\tau p}[/math]

[math]H(p)[/math] est une fraction rationnelle en [math]p[/math];

  • le degré du dénominateur est égal à 1 ;
  • le degré du numérateur est au plus égal à 1;
  • [math]G[/math] est le gain statique;
  • [math]\tau[/math] est la constante de temps, elle est positive.

Représentation des pôles dans le plan complexe[modifier]

Cette représentation permet d'étudier la stabilité du système en raisonnant à partir de la position des pôles dans le plan.

Nyquist 1er ordre.PNG

Principe: Dans le plan complexe, on place les pôles de la fonction de transfert (les pôles sont les racines du dénominateur). Dans le cas général, les pôles sont réels ou complexes, mais dans le cas d'un premier ordre, il n'y a qu'un seul pôle réel égal à [math]- \frac {1}{\tau}[/math] .

On verra plus tard qu'une des conditions de stabilité est que tous les pôles soient à partie réelle négative.

Dans le cas d'un système du premier ordre le pôle est un réel négatif, on en conclut qu'un système du premier ordre est toujours stable, et qu'ici cette représentation un peu trop détaillée n'est pas indispensable.

Réponse à une entrée impulsion unitaire (entrée canonique du type "Dirac")[modifier]

[math]e(t) = \delta(t)[/math]

Après transformation dans le domaine de Laplace: E(p) = 1

[math]S(p)=H(p).E(p)= \frac {G}{1+\tau p}= \frac {G}{\tau} . \frac {1}{p+ \frac {1}{\tau} }[/math] à laquelle correspond la sortie temporelle [math]s(t)= \frac {G}{\tau} .e^{- \frac {t}{\tau} }.u(t)[/math] (par identification avec la forme [math] \frac {1}{p + a}[/math], voir Table des transformées usuelles de Laplace).


Pente à l'origine : [math]s'(t)=- \frac {G}{\tau^{2}}.e^{- \frac {t}{\tau}}[/math] donc [math]s'(0^+)=- \frac {G}{\tau^{2}}[/math]


exemple de réponse indicielle:

[math]G=10, \tau = 2,5 s[/math].

La tangente à l'origine a une pente égale à [math]- \frac {G}{\tau^{2}}[/math].


Réponse à un échelon[modifier]

L'entrée est un échelon: [math]e(t)=E_{0}.u(t)[/math] soit dans le domaine de Laplace: [math]E(p)=E_{0}.\frac{1}{p}[/math]

Pour la fonction de transfert: [math]H(p)= G.\frac {1}{1+\tau p}[/math] et la sortie est de la forme, [math]S(p)=G.E_{0}\frac{1}{p(1+\tau p)}[/math]

ce qui donne pour la réponse temporelle: [math]s(t)=G.E_{0}.(1-e^{\frac{-t}{\tau }}).u(t)[/math] et [math]s'(0^{+})=\frac{G.E_{0}}{\tau }[/math]


Graphe de l'évolution de s(t) pour [math]G= 5 ; E_{0} = 2 ; \tau = 2,5 s[/math]

Tracé sur l'intervalle : [math]0 \lt t \lt 3.\tau[/math]

Pente de la tangente à l'origine [math]\frac{G.E_{0}}{\tau }[/math]

  • à [math]t = \tau[/math] la réponse vaut: [math]G . E0 (1 – e^{- \frac {t}{\tau}}) = G . E0 (1 – e^{-1}) = 0,63 G.E0[/math], soit 63% de la valeur finale
  • à [math]t = 2 \tau[/math] la réponse vaut [math]G . E0 (1 – e^{-2})[/math] soit 86% de la valeur finale
  • à [math]t = 5 \tau[/math] la réponse vaut [math]G . E0 (1 – e^{-5})[/math] soit 99,3% de la valeur finale
  • On définit le temps de réponse à 95% obtenu pour [math]1-e^{- \frac {t}{\tau}} =0,95[/math] soit [math]e^{- \frac {t}{\tau}} =0,05[/math] soit [math]t ~= 3 \tau[/math]

Réponse à une rampe[modifier]

[math]e(t)=A.t.u(t)[/math] soit [math]E(p)=A.\frac{1}{p^{2}}[/math]

la fonction de transfert est comme précédemment: [math]H(p)=G.\frac{1}{1+\tau.p}[/math] et la sortie, [math]S(p)=A.G.\frac{1}{p^2(1+\tau.p)}[/math]

ce qui donne pour la réponse temporelle: [math]s(t)=A.G.(t-\tau (1-e^{\frac{-t}{\tau }})).u(t)[/math] et [math]s'(t)=A.G.(1-e^{\frac{-t}{\tau }}).u(t)[/math]

réponse temporelle à une rampe: [math]G = 1,2 ; \tau = 2,5 s ; A = 2[/math]


  • La droite passant par l'origine représente la sortie souhaitée: [math]e(t) =A.G . t[/math]
  • la tangente à l'origine est horizontale.
  • la courbe tend asymptotiquement vers la droite d'équation: [math]ass(t) = A .G . (t-\tau)[/math]
  • L'asymptote passe par le point d'abscisse [math]t =\tau[/math]
  • L'ordonnée à l'origine vaut [math]-A.G.\tau [/math]


L'écart entre la sortie et l'entrée en régime transitoire est noté [math]\epsilon(t) = s(t) - e(t)[/math]