Rapidité, précision, stabilité, erreur des systèmes temporels

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Erreur statique

Pour définir l'erreur statique, on s’intéresse à un système asservi en régime permanent (entrée constante), et à l'écart entre la sortie souhaitée (image de la consigne) et la sortie réelle [math]s(t)[/math].

On appelle cet écart erreur statique. Notation: [math]\epsilon_{s}[/math]

Erreur statique.PNG

L'erreur statique, notée [math]e_{s}[/math] , est la limite quand [math]t\to \infty [/math] de l'écart [math]epsilon(t) = e(t)-s(t)[/math].

[math]\varepsilon _{S}=\lim _{t\to \infty }\varepsilon _{(t)}[/math]

Calculs:

[math]\varepsilon _{(p)}=E_{(p)}-S_{(p)}[/math]

[math]\varepsilon _{(p)}=E_{(p)}-H(p).E_{(p)}[/math]

[math]\varepsilon _{(p)}=E_{(p)}( 1-H(p))[/math]

Pour un système du premier ordre :

[math]\varepsilon _{(p)}= \frac {E_{0}}{p}(1- \frac {G}{1+\tau.p})[/math]

En utilisant le théorème de la valeur finale,

[math]\varepsilon _{S}=\lim _{t\to \infty }\varepsilon _{(t)}=\lim _{p\to 0}p.\varepsilon _{p}[/math]

[math]\varepsilon _{S}=\lim _{p\to 0}.p. \frac {E_{0}}{p}(1- \frac {G}{1+\tau.p})= E_0(1-G)[/math]

Cette erreur est nulle uniquement si G = 1.

Erreur dynamique

L'étude dynamique concerne la réponse en régime transitoire d'un système soumis à une consigne variable en fonction du temps.

L'écart entre la sortie souhaitée et la sortie réelle à l'instant t est l'erreur dynamique. Notation: [math]\epsilon_{d}[/math]

Erreur dynamique.PNG

Erreur de trainage (ou de poursuite)

On définit l'erreur de trainage pour le cas particulier suivant: L'entrée est une rampe, le gain vaut 1, le régime permanent est atteint. Lorsque t tend vers l'infini, [math]\epsilon(t)[/math] tend vers une limite notée [math]\epsilon_{d}[/math].

Erreur trainage.png

[math]\epsilon_{t}[/math] est l'"erreur de trainage".

[math]\epsilon _{t}=\lim _{t\to \infty }\varepsilon (t)[/math]

[math]\epsilon _{(t)} = s(t)-e(t)=A.G.(t-\tau (1-e^{\frac{-t}{\tau }})).u(t)-A.t.u(t)[/math]

[math]\epsilon _{t}=\lim _{t\to \infty }[A.G.(t-\tau (1-e^{\frac{-t}{\tau }}))-A.t].u(t)[/math]

en valeur absolue: [math]\epsilon _{t}=A.\tau [/math]

Pour un système du premier ordre, l'erreur dynamique est une constante.

Comme précédemment, avec théorème de la valeur finale:

[math]\epsilon _{t}=lim_{p\to 0}[p.(A.\frac{1}{p^{\text{2}}(1+\tau p)}-A.\frac{1}{p^{\text{2}}})][/math]

[math]\epsilon _{t}=A.lim_{p\to 0}[(\frac{1}{p(1+\tau p)}-\frac{1.(1+\tau p)}{p(1+\tau p)})][/math]

[math]\epsilon _{t}=-A.\tau [/math]

Remarque :

  • Si G<1, alors [math]\epsilon _{t} \to +\infty[/math]
  • Si G>1, alors [math]\epsilon _{t} \to -\infty[/math]

Rapidité

La rapidité caractérise le temps de réaction d'un système à une variation de la consigne. Elle est caractérisée par le temps de réponse à 5% ([math]Tr_{5 \%}[/math])

Temps réponse 5%.PNG


  • Pour un premier ordre, [math]Tr_{5\%}= 3.\tau[/math]
  • Pour un second ordre, [math]Tr_{5\%}[/math] est déterminé à partir de l'abaque du temps de réponse suivant :

Tr5%.PNG

Temps de réponse réduit

Le temps de réponse réduit est un temps de réponse généralisé calculé avec : [math]tr_{5\%}= \omega.Tr_{5\%}[/math]

ou [math]\omega[/math] est la pulsation amortie obtenue par : [math]\omega=\omega_{n} \sqrt{1-z²}[/math]

Stabilité

La stabilité traduit la propriété d'un système de tendre ou de revenir vers un état d'équilibre.

Cas d'un système stable suffisamment amorti

Les oscillations se stabilisent rapidement et la valeur de la sortie tend vers la valeur de consigne. C'est un comportement satisfaisant si on peut accepter le dépassement.

Systeme stable ammorti.PNG

Cas d'un système stable, peu amorti

On constate que les oscillations ne disparaissent pas assez vite et que le système ne se stabilise qu'après un temps assez long.

Systeme stable peu ammorti.PNG

Cas d'un système lent

Il n'ya pas d'oscillations, mais la grandeur de sortie n'atteint la valeur souhaitée qu'après un temps de réponse trop long.

Systeme stable long.PNG

Cas d'un système instable (non amorti)

la consigne d'entrée provoque des oscillations dont l'amplitude croît exponentiellement. Dans la pratique un tel système se détruit rapidement par dépassement de l'amplitude maximale admissible.

Systeme instable.PNG

Mise au point d'un système

La mise au point d'un système temporel consiste en général à trouver le meilleur compromis entre rapidité, stabilité et précision en fonction des performances à réaliser.

Pour être performant, un système asservi doit donc allier rapidité, précision, stabilité. Ces trois qualités sont liées, et on verra par la suite que le fait d'augmenter la précision et la rapidité, (en général en augmentant le gain), c'est à dire la puissance mise en jeu pour rattraper l'écart, a pour conséquence néfaste de diminuer la stabilité en provoquant des oscillations. Un amortissement plus important augmente la stabilité au détriment de la rapidité. Lorsque la sortie diverge en amplitude en oscillant, le phénomène s'appelle le pompage.

La sortie peut diverger soit en raison du comportement dynamique du système commandé, soit à cause d'une boucle de retour trop énergique ou en opposition de phase. Dans les deux cas, ce comportement est inacceptable pour un système industriel. Dans le cas ou le système est stable, il est aussi indispensable que le régime transitoire soit suffisamment rapide et amorti.

Quand on veut étudier le comportement d'un système existant, on observe l'évolution de la sortie pour un signal d'entrée particulier. (on fait alors une étude expérimentale)

Si on connaît la loi entrée/sortie du système(par une Fonction de Transfert), on simule par le calcul la réponse à un signal d'entrée. (on fait alors une étude théorique d'un modèle)