Radar de poursuite (TD de cinématique)

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Présentation et paramétrage

Le radar de poursuite permet de pointer et de suivre un objet volant dans le ciel.

Radar poursuite.png

Il est constitué de 3 solides :

  • le bati (ou support) 0;
  • le porte parabole 1;
  • la parabole 2;

Le système possède deux mouvement indépendants pour orienter la parabole :

  • une rotation en O autour de l'axe vertical [math] \overrightarrow{z_0}[/math], c'est l'angle de gisement;
  • une rotation en A autour l'axe [math] \overrightarrow{x_1}[/math], c'est l'angle de site.
Radar de poursuite.PNG

[math]R_0= (O, \overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{y_0}, \overrightarrow{z_0})[/math] est lié au bati 0.

[math]R_1 = (O, \overrightarrow{x_1}, \overrightarrow{y_1}, \overrightarrow{z_1})[/math] avec [math] \overrightarrow{z_1}= \overrightarrow{z_0}[/math] est lié au porte parabole 1.

[math]\alpha = ( \overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{x_1})= ( \overrightarrow{y_0}, \overrightarrow{y_1})[/math] angle de gisement.

[math] \overrightarrow{OA} = a. \overrightarrow{z_0}[/math].

[math]R_2 = (A, \overrightarrow{x_2}, \overrightarrow{y_2}, \overrightarrow{z_2})[/math] avec [math] \overrightarrow{x_2}= \overrightarrow{x_1}[/math] est lié à la parabole 2.

[math]\beta = ( \overrightarrow{y_1}, \overrightarrow{y_2})= ( \overrightarrow{z_1}, \overrightarrow{z_2})[/math] angle de site.

[math] \overrightarrow{AB} = b. \overrightarrow{y_2}[/math].

Travail demandé

  1. Représenter les changements de bases et donner les relations entre les différents axes des repères.
  2. Exprimer la position du point B par rapport au repère [math]R_0[/math]
  3. Exprimer les vecteurs vitesses de rotation de 1/0 et 2/1.

}#Déterminer la vitesse du point B du solide 2 par rapport à 0 en fonction de [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], a, b.

  1. Déterminer l'accélération du point B du solide 2 par rapport à 0.
  2. Reprendre les résultats précédents pour [math]\beta= \beta_0[/math] (constant) et [math] \dot{\alpha}=\omega_0[/math].
  3. Calculer l'évolution de [math]\beta[/math] et [math]\alpha[/math] au cours du temps si le radar poursuit un avion progressant en mouvement rectiligne uniforme horizontal à la vitesse [math]v_0[/math] le long d'une droite de direction [math] \overrightarrow{y_0}[/math] et passant par C tel que [math] \overrightarrow{OC} = d. \overrightarrow{x_0}+h. \overrightarrow{z_0}[/math].
  4. En déduire les équations temporelles des vitesses angulaires.