Principe fondamental de la statique

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Première loi de Newton ou principe de l'inertie

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton, 1687

L'énoncé original de la première loi du mouvement par Newton dans les "Principia" en 1687 est le suivant :


"Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent."


Autrement dit, s'il n'y a pas de forces qui s'exerce sur un solide, ou si la somme des forces s'exerçant sur lui est égale au vecteur nul, sa vitesse ne changent pas ou, ce qui revient au même, son accélération est nulle. Cette première loi infirme les lois de la physique d'Aristote, d'après lesquelles on pensait que pour maintenir la vitesse d'un mobile constante, il était nécessaire de lui appliquer une force.

Dans le domaine de la statique, on appelle cet état l'équilibre statique et on place le solide ou l'ensemble de solides dans un référentiel tel que sa vitesse est nulle et reste nulle.

Le principe fondamental est utilisé, en Sciences de l'ingénieur, pour déterminer les actions mécaniques inconnues qui s'appliquent à un solide en équilibre statique, à partir des actions mécaniques connues.

Isolement d'un système matériel

Il est important, dans un premier temps de déterminer précisément quel est le système, composé de un ou plusieurs solides, dont on va étudier l'équilibre. Cet démarche s'appelle l'isolement d'un système `S` par rapport à son environnement `bar S` et la limite entre `S` et `bar S` est appelée la frontière d'isolement.

Exemple de frontière d'isolement

Cette frontière permet de différencier les efforts intérieurs des efforts extérieurs au système isolé. Le principe fondamental de la statique ne s'appliquant qu'aux efforts extérieurs au système, c'est à dire ceux qui traversent la frontière d'isolement.

On peut utiliser le graphe de structure du système pour définir la frontière d'isolement et les efforts intérieurs et extérieurs.

Sur l'exemple ci-contre, on isole les solides 1 et 5. Les efforts dans les liaisons `L_1`, `L_3`, `L_4` et `L_7`, ainsi que l'effort `vec F_1` sont des efforts extérieurs au système isolé.

Les efforts dans la liaison `L_2` sont des efforts intérieurs. Ils n'interviendront pas dans l'application du PFS à l'isolement courant.

Les efforts dans les liaisons `L_5`, `L_6` ainsi que le moment `vec M_1` ne sont ni des efforts intérieurs, ni des efforts extérieurs. Ils n'interviendront pas dans l'application du PFS à l'isolement courant.


Modélisation des AM

2 cas de figures :

  • L'effort vient d'une liaison et on détermine l'AM transmissible dans la liaison par le torseur cinématique et la complémentarité;
  • L'effort vient d'un modèle différent (action de l'utilisateur, action d'un fluide, de la pesanteur, du vent....) et on utilise le modèle proposé qui souvent peut être modélisé simplement par un glisseur ou un torseur couple.

Expression mathématique du Principe Fondamental de la Statique

Principe Fondamental de la Statique (PFS)

Soit un système matériel `S` en interaction avec son environnement `bar S`. Si `S` est en équilibre, le torseur résultant des actions mécaniques de `bar S` sur `S` est égale au torseur nul.

Equilibre de `S => {T_(bar S->S)}_(O) = {(vec 0), (vec 0):} } _(0)`

Le torseur résultant des actions mécaniques de `bar S` sur `S` est égale à la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures au système.

Si l'environnement `bar S` en interaction avec `S` est constitué de m solides en contact avec `S` et de n champs de forces à distances s'exerçant sur `S`, on a :

`{T_(bar S->S)}_(O) = {T_(S_1->S)}_(O)+{T_(S_2->S)}_(O)+...+{T_(S_m->S)}_(O)+{T_(Champ_1->S)}_(O)+{T_(Champ_2->S)}_(O)+...+{T_(Champ_n->S)}_(O)= {(vec 0), (vec 0):} } _(0)`

Remarque : Tous ces torseurs sont exprimés au même point 0.


En séparant la résultante et le moment du torseur `{T_(bar S->S)}_(O)`, on obtient les deux énoncés suivants:

Théorème de la résultante statique

Pour tout système `S` en équilibre, la résultante des actions mécaniques exercées par `bar S` sur `S` est nulle.

`vec R_(bar S->S) = vec 0`

Théorème du moment statique

Pour tout système `S` en équilibre, le moment résultant en un point O des actions mécaniques exercées par `bar S` sur `S` est nul.

`vec M_O(bar S->S) = vec 0`

Principe des interactions (ou des actions mutuelles)

Le principe des interactions se déduit directement du PFS.

{{A retenir|titre=Principe des interactions|contenu=Soient `S_1` et `S_2` deux systèmes matériels en équilibre :

`{T_(S1->S2)}_(O) = -{T_(S2->S1)}_(O) }}

Démarche de résolution d'un problème de statique

Problèmes spatiaux

Portail soumis à son poids et à une action du vent- Problème spatiale

Un mécanisme spatial est typiquement un mécanisme dont la structure et les efforts appliqués ne peuvent se réduire à un plan.

Dans le mécanisme ci-contre, les centre des liaisons et les actions mécaniques appliquées ne sont pas coplanaires.

Ce problème sera résolu par plusieurs isolements successifs. Chaque isolement va donner, par application du PFS, 6 équations statiques, et donc permettront de déterminer au maximum 6 inconnues statiques.

Dans ce type de problèmes, la résolution par méthode graphique n'est pas possible.

Problèmes plans

Certains cas fréquents concernent les systèmes en équilibre sous l'effet d'actions mécaniques dont les résultantes sont coplanaires et les moments éventuels perpendiculaires à ce plan.

Ces systèmes sont qualifiés de systèmes plans.

Exemple : Pince de préhension

Pince Schrader 3D.PNG

Le système représenté ci-dessus peut être réduit à un système plan.

Résolution analytique

La démarche analytique appliquée à un système plan consiste à opérer une simplification des torseurs des actions mécaniques en jeu par annulation, a priori, des composantes qui resteront nulles aprés résolution.

Exemple :

Pour un système présentant une simplification dans le plan `(vec x, vec y)`, on annulera, dans les torseurs des actions mécaniques inconnus:

  • la composante de la résultante normale au plan `(vec x, vec y)` , c'est à dire Z.
  • les composantes du moment résultant comprises dans le plan `(vec x, vec y)`, c'est à dire L et M.

L'application du PFS à un isolement permet donc d'obtenir 3 équations et de déterminer au maximum 3 inconnues statiques.


Résolution graphique

Dans le cas d'un problème plan ou tous les efforts sont modélisables par des glisseurs (moment nul), on peut utiliser une méthode graphique de résolution.

Système soumis à 2 glisseurs coplanaires

Solide soumis à 2 glisseurs coplanaires

Solide soumis a 2 glisseurs.PNG
  • Les 2 glisseurs ont le même support (la droite passant par les 2 points d'application).
  • Ils sont de même norme et de sens opposés.

Démonstration :


Soit un solide `S` soumis en A et B à 2 glisseurs `vec A_(1->S)` et `vec B_(1->S)`

Par application du théorème de la résultante statique, on a :

`vec A_(1->S)+vec B_(1->S)=vec 0` `=>vec B_(1->S)=-vec A_(1->S)`

Ces 2 vecteurs sont donc égaux en norme et de sens opposés

Par application du théorème du moment statique en A, on a :

`vec (A A)^^vec A_(1->S)+vec(AB)^^vec B_(1->S)=vec 0` `=>vec(AB)^^vec B_(1->S)=vec 0` `vec B_(1->S)` est donc colinéaire à `vec(AB)`. Donc `vec A_(1->S)` aussi.


Système soumis à 3 glisseurs coplanaires

Solide soumis à 3 glisseurs coplanaires

Solide soumis a 3 glisseurs.PNG
  • Les 3 glisseurs sont concourants (leur supports se coupent en un point unique I).
  • Leur somme vectorielle est nulle (ils forment un dynamique fermé.

Démonstration : Soit un solide `S` soumis en A, B et C à 3 glisseurs `vec A_(1->S)`, `vec B_(1->S)` et `vec C_(1->S)`.

Par application du théorème de la résultante statique, on a :

`vec A_(1->S)+vec B_(1->S)+vec C_(1->S)=vec 0`


Par application du théorème du moment statique en I, on a :

`vec (IA)^^vec A_(1->S)+vec(IB)^^vec B_(1->S)+vec(IC)^^vec C_(1->S)=vec 0` (1)


Positionnons I à l'intersection des supports de `vec A_(1->S)` et `vec B_(1->S)`. On a donc `vec (IA)^^vec A_(1->S)=vec(IB)^^vec B_(1->S)=vec 0`

L'équation (1) devient : `vec(IC)^^vec C_(1->S)=vec 0`

Ces 2 vecteurs étant à priori non nuls, ils doivent être colinéaires. Donc I appartient également à la direction de `vec C_(1->S)`.

Les trois glisseurs sont donc concourants en I.

Synoptique général de résolution d'un problème de statique

Synoptique.PNG



centre d'intérêt:Statique des solides