Position et paramétrage d'un mécanisme

De WikiMéca
Aller à : navigation, rechercher

Notion de référentiel[modifier]

La définition d'un référentiel d'observation est primordiale pour décrire les grandeurs cinématique et leur évolution dans le temps.

Pour l'observation des phénomènes cinématiques, on utilisera des repères orthonormés directs dimension 3, (R), constitués :

  • d’une base orthonormée directe de dimension 3, définie par trois vecteurs unitaires (de norme 1) [math]\overrightarrow {x_i}, \overrightarrow {y_i}, \overrightarrow {z_i}[/math], ;
  • d’une origine O_i.

On le note : [math]R_i(0_i,\overrightarrow {x_i}, \overrightarrow {y_i}, \overrightarrow {z_i})[/math]

Remarque : Sur une représentation de paramétrage d'un mécanisme,on ne cherche pas nécessairement à représenter les 3 axes du repère comme des vecteurs unitaires, ni même de les tracer de la même longueur.

Repere othonorme direct.PNG

Règle des 3 doigts de la main 'droite' (pour vérifier qu'une base est directe) Regle des 3 doigts.jpg

Solide indéformable et repère lié[modifier]

Pour développer la cinématique du solide, on considère, dans un premier temps les solides comme indéformables.

Les pièces d'un mécanisme sont supposées infiniment rigides.

A retenir

Un solide S est dit indéformable lorsqu'à tout instant t, la distance entre deux points quelconques A, B ∈ S , est constante.

On peut écrire que [math]\overrightarrow {AB}^2 = cste[/math] .

Chaque solide S_i (ou pièce) d'un mécanisme sera lié à un repère R_i et sera considéré comme fixe dans ce repère.

Exemple : Robot manipulateur[modifier]

Description[modifier]

On considère un robot manipulateur constitué des solides suivants :

  • 0 : le socle considéré comme fixe;
  • 1 : la chaise en rotation d'axe verticale par rapport au socle;
  • 2 : le bras en rotation d'axe horizontale par rapport à la chaise 1;
  • 3 : l'avant bras en rotation d'axe horizontale par rapport au bras 2;
  • 4 : le poignet en rotation par rapport à l'avant bras 3;
  • 5 : la pince en rotation par rapport au poignet 4;

On pose le repère [math]R_0(O_0,\overrightarrow {x_0},\overrightarrow {y_0},\overrightarrow {z_0})[/math] lié au socle 0 et considéré comme fixe.

Robot1.PNG

Repérage de la position d'un point matériel[modifier]

La position d'un point M peut être définie dans le repère R par un "vecteur position" [math]\overrightarrow {OM}[/math]qui prend son origine à l'origine du repère [math]O[/math] (ou à un point fixe du repère).

Système de coordonnées cartésiennes (généralement utilisé)[modifier]

Si on inscrit le vecteur [math]\overrightarrow {OM}[/math] dans un parallélépipède dont trois cotés sont confondus avec les axes du repère R, on obtient les trois projections [math]x_M(t), y_M(t), z_M(t)[/math] du segment [OM] sur [math]\overrightarrow x[/math], [math]\overrightarrow y[/math] et [math]\overrightarrow z[/math].

Coordonnees cartesiennes.png

A retenir

Le vecteur [math]\overrightarrow {OM}[/math] peut donc s'écrire comme la somme de trois vecteurs :

[math]\overrightarrow {OM}= x_M(t).\overrightarrow {x} + y_M(t).\overrightarrow {y} + z_M(t).\overrightarrow {z}[/math]

[math]\overrightarrow x[/math], [math]\overrightarrow y[/math] et [math]\overrightarrow z[/math] sont les vecteurs constituant le repère R.

On peut également l'écrire en colonne : [math]\overrightarrow {OM}= [(x_M(t)), (y_M(t)), (z_M(t))]_R[/math]

Ici les trois vecteurs unitaires [math]\overrightarrow x[/math], [math]\overrightarrow y[/math] et [math]\overrightarrow z[/math] sont sous entendus mais il est donc nécessaire de préciser dans quel repère le vecteur est exprimé.

coordonnées cylindriques[modifier]

Le point M est repéré, en projection dans le plan [math](\overrightarrow x, \overrightarrow vec y)[/math], par le rayon [math]r[/math] et l'angle [math]\theta[/math] formé avec l'axe [math]\overrightarrow x[/math]. Le troisième paramètre est la projection de M sur l'axe [math]\overrightarrow z[/math] notée h.

http:/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Coordonnees_cylindriques.png


On peut convertir les coordonnées cylindriques [math](r, \theta, z)[/math] en coordonnées cartésiennes [math](x, y, z)[/math] grâce aux formules suivantes :

  • [math]x = r cos \theta [/math]
  • [math]y = r sin \theta [/math]
  • [math]z = z[/math]

coordonnées sphériques[modifier]

Coor spheriques.png

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, θ, φ) d'un point M sont définies par :

  • ρ est la distance du point M au centre O et donc ρ > 0;
  • φ est l'angle non orienté formé par les vecteurs [math]\overrightarrow z[/math] et [math]\overrightarrow {OM}[/math], appelé angle zénital ou colatitude ;
  • θ est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point M. Si H est le projeté orthogonal de M dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs [math]\overrightarrow x[/math] et [math]\overrightarrow {OH}[/math].

Par convention, et pour assurer l'unicité de ρ, l'angle φ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°. En conséquence la relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

  • [math] x = \rho .sin \phi .cos \theta[/math]
  • [math] y = \rho .sin \phi sin \theta [/math]
  • [math] z = \rho .cos \phi [/math]

Paramétrer la position relative de 2 solides[modifier]

Avec un vecteur position, on peut donc facilement paramétrer la position d'un point dans un repère (avec 3 paramètres quelque soit le système de coordonnées utilisé). Le repérage de la position d'un solide nécessite plus de paramètres.

Mouvements possible d'un solide[modifier]

Le mouvement d'un solide S complètement libre par rapport à un repère R fixe peut être décrit par décomposition en 6 mouvements de base : 3 translation et 3 rotations :

Degres de liberte.PNG Reperage avion.png

Si on lie un repère [math]R_1[/math] au solide [math]S_1[/math], il faut donc, en plus du repérage de la position de l'origine [math]O_1[/math] par rapport à [math]O[/math] repérer les rotations du repère [math]R_1[/math] par rapport à [math]R[/math].

Angles d'Euler[modifier]

Les angles d'Euler sont une manière de paramétrer une rotation quelconque entre deux repères à partir de 3 angles :

  • la précession [math]\phi[/math];
  • la nutation [math]\theta[/math] ;
  • la rotation propre [math]\psi[/math].

Angles euler.gif

Voir [http:/www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/euler.swf Animation flash sur les angle d'Euler ] de Geneviève Tulloue.

Rotation simplifiée autour d'un axe unique[modifier]

Dans l'étude des mécanismes, on est confronté à des mouvements de solides conditionnés par les liaisons permettant peu de possibilités de mouvement, et très souvent ne permettant qu'une rotation. Le problème est donc simplifié.

Exemple du Robot manipulateur :

Le mouvement possible entre la chaise 1 du robot et le socle 0 est une rotation d'axe [math](O_0,\overrightarrow {z_0})[/math]. On peut donc poser un repère [math]R_1(O_1,\overrightarrow {x_1},\overrightarrow {y_1},\overrightarrow {z_1})[/math] lié à la chaise 1 tel que [math]\overrightarrow {z_1}=\overrightarrow {z_0}[/math] et [math]O_0=O_1[/math].

On pose [math]\Theta_{ 01 }=(\overrightarrow {x_0},\overrightarrow {x_1})=(\overrightarrow {y_0},\overrightarrow {y_1})[/math].

Robot2.PNG


Figure de changement de base

Afin de clarifier la compréhension du mécanisme et d'écrire facilement les relations de passage de la base [math]R_0[/math] à [math]R_1[/math], on réalise une figure de changement de base, c'est à dire une figure en projection plane qui montre l'angle de passage entre les deux bases dans le plan de projection.

A retenir

Afin que les angles représentés soient positifs, Il est important :

  • d'utiliser des repères orthonormés directs;
  • de poser des paramètres angulaires compris entre 0 et [math]\pi/2[/math] (environ 30°);
  • de représenter le changement de repère par une projection plane faisant apparaître l'angle de passage dans le sens trigonométrique.

On représenter cet angle de façon positive par rapport à l'orientation des repères même si il est négatif dans la position particulière représentée du mécanisme.

Robot2 chgt de base.PNG

On peut alors écrire les relations entre les axes des deux repères :

  • [math]\overrightarrow {x_1}=cos \Theta_{ 01 }.\overrightarrow {x_0}+sin \Theta_{ 01 }.\overrightarrow {y_0}[/math]
  • [math]\overrightarrow {y_1}=cos \Theta_{ 01 }.\overrightarrow {y_0}-sin \Theta_{ 01 }.\overrightarrow {x_0}[/math]

De la même manière :


L'avant-bras étant en rotation d'axe [math](O_2,\overrightarrow {y_1})[/math] par rapport à la chaise 1, on peut donc poser un repère [math]R_2(O_2,\overrightarrow {x_2},\overrightarrow {y_2},\overrightarrow {z_2})[/math] lié à l'avant-bras 2 tel que [math]\overrightarrow {y_2}=\overrightarrow {y_1}[/math]. [math]0_2[/math] est positionné au centre de la liaison pivot entre 1 et 2. On pose [math]\Theta_{ 12 }=(\overrightarrow {x_1},\overrightarrow {x_2})=(\overrightarrow {z_1},\overrightarrow {z_2})[/math].

Robot3bis.PNG

Avec la figure de changement de base ci-dessus on obtient :

  • [math]\overrightarrow {x_2}=cos \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {x_1}-sin \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {z_1}[/math]
  • [math]\overrightarrow {z_2}=cos \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {z_1}+sin \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {x_1}[/math]

Ecriture du vecteur position[modifier]

On pose :

  • la longueur [math]O_0 O_2 = h[/math]
  • la longueur [math]O_2 P = l[/math] (où P est le point correspondant à l'extrémité du bras).

Remarque : Comme on considère les solides indéformables,les longueurs [math]h[/math] et [math]l[/math] sont des constantes.

On peut alors écrire facilement la position du point P en utilisant les différents repères mis en place :

Position du point P par rapport à [math]R_0[/math]

[math]\overrightarrow {O_0 P} = h. \overrightarrow {z_0} + l.\overrightarrow {x_2}[/math]

On remarque que cette expression de [math]\overrightarrow {O_0 P}[/math] est la plus simple possible et il faut l'utiliser en priorité.

On peut également projeter (si demandé) [math]\overrightarrow {O_0 P}[/math] dans </math>R_0[math], c'est à dire l'exprimer par des projection sur \lt math\gt x_0[/math], [math]y_0[/math] et [math]z_0[/math]. On utilise alors les relation de projection établie précédemment grâce aux figures de changement de base.

[math]\overrightarrow {O_0 P} = h. \overrightarrow {z_0} + l.\overrightarrow {x_2} [/math]

[math]\overrightarrow {O_0 P} = h. \overrightarrow {z_0} + l.(cos \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {x_1}-sin \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {z_1})[/math] (en remplaçant [math]\overrightarrow x_2[/math])

[math]\overrightarrow {O_0 P} = h. \overrightarrow {z_0} + l.(cos \Theta_{ 12 }.(cos \Theta_{ 01 }.\overrightarrow {x_0}+sin \Theta_{ 01 }.\overrightarrow {y_0})-sin \Theta_{ 12 }.\overrightarrow {z_0})[/math] (en remplaçant [math]\overrightarrow x_1[/math] et en remarquant que [math]\overrightarrow z_1 = \overrightarrow z_0[/math])

Remarque importante

Cette dernière expression, projection de [math]\overrightarrow {O_0 P}[/math] dans [math]R_0[/math] est beaucoup plus complexe que [math]\overrightarrow {O_0 P}= h. \overrightarrow {z_0} + l.\overrightarrow {x_2}[/math] utilisant les repères locaux.

La projection d'un vecteur dans le repère global est donc à éviter et à n'utiliser que si nécessaire.