Outils mathématiques:Vecteurs

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Définition

L’ensemble des bipoints équipollents au bipoint (A,B) constitue la classe d’équivalence appelée vecteur. Le vecteur [math] \overrightarrow{AB}[/math] en est un représentant.

Composantes d’un vecteur

Repère orthonormé direct

Un repère orthonormé direct de dimension 3, (R), est constitué :

  • d’une base orthonormée directe de dimension 3, définie par trois vecteurs unitaires (de norme 1) [math] \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}[/math], tels que [math] \overrightarrow{x}. \overrightarrow{y}=0[/math] et [math] \overrightarrow{z}= \overrightarrow{x} \wedge \overrightarrow{y}[/math];
  • d’une origine O.

On le note : [math]R(0, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})[/math]

Repere othonorme direct.PNG

Composantes d’un vecteur - Projection dans un repère

Projection d'un vecteur dans un repère

Soit M un point de l'espace. On peut repérer sa position par rapport au repère [math]R(0, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})[/math] par le vecteur [math] \overrightarrow{OM}[/math].


Si on inscrit le vecteur [math] \overrightarrow{OM}[/math] dans un parallélépipède dont trois cotés sont confondus avec les axes du repère R, on obtient les trois projections [math]d_x, d_y, d_z[/math] du segment [OM].

Le vecteur [math] \overrightarrow{OM}[/math] peut donc s'écrire comme la somme de trois vecteurs :

[math] \overrightarrow{OM}= d_x. \overrightarrow{x} + d_y. \overrightarrow{y} + d_z. \overrightarrow{z}[/math]

On peut également l'écrire en colonne : [math] \overrightarrow{OM}= \left [ \begin{array}{c} d_x \\ d_y \\ d_z \end{array} \right ][/math]

Norme d'un vecteur

Soit [math] \overrightarrow{V}= \left [ \begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right ][/math]

On calcule sa norme de la façon suivante :

[math]| \overrightarrow{V}|= \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}[/math]

Produit d'un vecteur par un scalaire

Le terme « scalaire » désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur [math]\vec{u}[/math] par un scalaire a est un vecteur noté :[math]a \times \vec{u}[/math]

  • de même direction et sens que [math]\vec{u}[/math], mais dont la longueur vaut : [math]a \times ||\vec{u}||[/math], si a > 0
  • de même direction mais de sens contraire que [math]\vec{u}[/math], et dont la longueur vaut : [math]-a \times ||\vec{u}||[/math], si a < 0.
  • il s'agit d'un vecteur nul si a = 0.
produit d'un vecteur u par un scalaire a


On a :[math]1.\vec{u} = \vec{u}[/math], [math]0.\vec{u} = \vec{0}[/math] et [math]a.\vec{0} = \vec{0}[/math]. 1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires :[math](a+b) \times \vec{u} = a \times \vec{u} + b \times \vec{u}[/math] mais il n'est pas commutatif : la notation [math]\vec{u} \times a[/math] n'a pas de sens.

Remarque : deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que [math]\vec{u} = a \times \vec{v}[/math].

Somme de deux vecteurs

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs [math]\vec{u}[/math] et [math]\vec{v}[/math] est un vecteur, noté [math]\vec{u}+\vec{v}[/math], qui est construit de la manière suivante : on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second. Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.

Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la « relation de Chasles » :

relation de Chasles

[math]\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}[/math]

On déduit de cela que : [math]\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{A A} = \vec{0}[/math].

Ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation [math]-\vec{AB} = -1 \times \vec{AB}[/math] on a : [math]\vec{AB} = - \vec{BA}[/math]

L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.

On a :

  • [math]\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}[/math].
  • [math]\vec{0}[/math] est l'élément neutre de l'addition des vecteurs.
  • L'addition des vecteurs est commutative : [math]\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}[/math]
  • Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs : [math]a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a \times \vec{u} + a \times \vec{v}[/math].

Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs

Si [math]\vec{u}[/math] et [math]\vec{v}[/math] sont deux vecteurs faisant un angle géométrique α, on appelle produit scalaire, et on note [math]\vec{u} . \vec{v}[/math], le nombre réel valant : [math]\vec{u} \times \vec{v} = || \overrightarrow{u} || . || \overrightarrow{v||} .cos(\alpha)[/math].

Calcul par composantes

Soient les vecteurs [math] \overrightarrow{U}[/math] et [math] \overrightarrow{V}[/math] connus par leurs composantes : [math] \overrightarrow{U}= \left [ \begin{array}{c} U_x \\ U_y \\ U_z \end{array} \right ][/math] et [math] \overrightarrow{V}= \left [ \begin{array}{c} V_x \\ V_y \\ V_z \end{array} \right ][/math] exprimés dans le même repère.

On obtient le produit scalaire par : [math] \overrightarrow{U} . \overrightarrow{V} = U_x.V_x + U_y.V_y + U_z.V_z[/math]

Le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle entre eux est droit (c’est-à-dire si et α = π/2 rad = 90 °), les vecteurs [math]\vec{u}[/math] et [math]\vec{v}[/math] sont dans ce cas orthogonaux, strictement positif si l'angle est aigu et strictement négatif si l'angle est obtus.

Projection orthogonale avec le produit scalaire

Le produit scalaire est utile pour exprimer la projection d'un vecteur sur un axe particulier d'un repère orthonormé direct.

Soit à projeter le vecteur [math] \overrightarrow{U}[/math] sur l'axe d'un repère représenté par le vecteur unitaire [math] \overrightarrow{x}[/math]. La projection est obtenue par [math] \overrightarrow{U} . \overrightarrow{x}[/math].

Proj produit scalaire.png

Propriétés

  • Le produit scalaire est commutatif
[math]\vec{u} \times \vec{v} = \vec{v} \times \vec{u}[/math]
  • Il est distributif sur l'addition des vecteurs
[math]\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w})= \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}[/math]
  • Le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire
[math]\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{u} = 0[/math]
  • [math]\vec{u} \times \vec{u}[/math] s'appelle le carré scalaire du vecteur [math]\vec{u}[/math] et se note [math]\vec{u}[/math]2 ; ainsi : [math]\vec {u}[/math]2 = [math]\vec{u} \times \vec{u}[/math]

  • Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme
[math]\vec{u}[/math]2 = [math] \| \vec{u} \|[/math]2 et donc [math]\sqrt{\vec{u}^2}[/math] = [math] \| \vec{u} \|[/math]
  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
[math]\vec{u}[/math] est perpendiculaire à [math] \vec{v}[/math] si et seulement si [math]\vec{u} \times \vec{v} = 0[/math]

Produit vectoriel de deux vecteurs

Produit vectoriel

Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit vectoriel des deux vecteurs [math]\vec{u}[/math] et [math]\vec{v}[/math], noté [math]\vec{u} \wedge \vec{v}[/math], est le vecteur :

  • normal au plan vectoriel de base [math]( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )[/math]
  • dont la norme vaut [math]|| \overrightarrow{u} || \times || \overrightarrow{v} || \times sin( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )[/math]
  • tel que [math]( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} , ( \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v} ))[/math] forme une base directe.

On étend la définition précédente au cas où [math]\vec{u}[/math] et [math]\vec{v}[/math] sont colinéaires en posant :

[math]\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}[/math]

Relation entre les axes d'un repère orthonormé direct

Dans un repère orthonormé direct, on a :

  • [math] \overrightarrow{x} \wedge \overrightarrow{y}= \overrightarrow{z}[/math]
  • [math] \overrightarrow{y} \wedge \overrightarrow{z}= \overrightarrow{x}[/math]
  • [math] \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y}[/math]

et

  • [math] \overrightarrow{y} \wedge \overrightarrow{x}=- \overrightarrow{z}[/math]
  • [math] \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{y}=- \overrightarrow{x}[/math]
  • [math] \overrightarrow{x} \wedge \overrightarrow{z}=- \overrightarrow{y}[/math]

Pour retrouver efficacement ces relations, on peut écrire (sur un coin de feuille) : "x y z x y", en parcourant cette liste de gauche à droite, on obtient un signe positif et inversement.

Calcul en composantes

Notons les coordonnées [math]\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)[/math] et [math] \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)[/math]. On peut calculet leur produit vectoriel de la façon suivante :

[math] \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}=(u_1 \overrightarrow{x}+u_2 \overrightarrow{y}+u_3 \overrightarrow{z}) \wedge { v_1 \overrightarrow{x}+v_2 \overrightarrow{y}+v_3 \overrightarrow{z} }[/math]

En développant on obtient :

[math] \overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}=u_1 \overrightarrow{x} \wedge v_1 \overrightarrow{x}+u_1 \overrightarrow{x} \wedge v_2 \overrightarrow{y}+u_1 \overrightarrow{x} \wedge v_3 \overrightarrow{z}[/math]

[math]+u_2 \overrightarrow{y} \wedge v_1 \overrightarrow{x}+u_2 \overrightarrow{y} \wedge v_2 \overrightarrow{y}+u_2 \overrightarrow{y} \wedge v_3 \overrightarrow{z}[/math]

[math]+u_3 \overrightarrow{z} \wedge v_1 \overrightarrow{x}+u_3 \overrightarrow{z} \wedge v_2 \overrightarrow{y}+u_3 \overrightarrow{z} \wedge v_3 \overrightarrow{z}[/math]

En utilisant que :

  • [math] \overrightarrow{x} \wedge \overrightarrow{y}= \overrightarrow{z}[/math]
  • [math] \overrightarrow{y} \wedge \overrightarrow{z}= \overrightarrow{x}[/math]
  • [math] \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y}[/math]

et

  • [math] \overrightarrow{y} \wedge \overrightarrow{x}=- \overrightarrow{z}[/math]
  • [math] \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{y}=- \overrightarrow{x}[/math]
  • [math] \overrightarrow{x} \wedge \overrightarrow{z}=- \overrightarrow{y}[/math]

et aussi que : [math] \overrightarrow{x} \wedge \overrightarrow{x}= \overrightarrow{y} \wedge \overrightarrow{y}= \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{z}= \overrightarrow{0}[/math] on obtient :

[math]\vec{u}\wedge \vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2) \overrightarrow{x}+(u_3v_1-u_1v_3) \overrightarrow{y}+(u_1v_2-u_2v_1) \overrightarrow{z}[/math]

ou

[math]\vec{u}\wedge \vec{v}=\left [ \begin{array}{c} u_2v_3-u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2-u_2v_1 \end{array} \right ][/math]

On peut retrouver ce résultat directement (sans passer par la distribution) en réécrivant les deux premières composantes de chaque vecteur sous les autres et en faisant 3 "produits en croix" (un pour chaque composante du résultant) à partir de la deuxième ligne:

Calcul produit vectoriel.PNG


Propriétés

Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif :

  • Distributivité sur l'addition :
    [math]\vec u\wedge(\vec v+\vec w) = \vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\overrightarrow w[/math],
  • Compatibilité avec la multiplication par un scalaire :
    [math]\lambda (\vec u\wedge\vec v) = \lambda\vec u\wedge\overrightarrow v = \vec u\wedge\lambda\overrightarrow v[/math],
  • Anticommutativité :
    [math]\vec u\wedge\overrightarrow v = -\vec v\wedge\overrightarrow u[/math]
  • Non-associativité :
    [math]\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) \ne (\vec u\wedge\vec v)\wedge\overrightarrow w[/math]

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.