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Outils de dérivation vectorielle

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Dérivation directe ou en coordonnées cartésiennes

Soit un vecteur `vec V`repéré dans le repère `R(O,vec x,vec y, vec z)` par `vec V= x.vec x+y.vec y+z.vec z`. La dérivée temporelle de ce vecteur par rapport au repère R s'écrit :

`[(d vec V)/(dt)]_R= (dx)/(dt).vec x+ x. [(d vec x)/(dt)]_R + (dy)/(dt).vec y+ y. [(d vec y)/(dt)]_R+(dz)/(dt).vec z+ z. [(d vec z)/(dt)]_R`

Les vecteurs `vec x, vec y` et `vec z` étant constant au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont nulles, donc :

`[(d vec V)/(dt)]_R= (dx)/(dt).vec x+ (dy)/(dt).vec y+(dz)/(dt).vec z`

Pour simplifier l'écriture, on note `(d u)/(dt)=dot u` donc :

`[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x+ dot y.vec y+dot z.vec z`

Si le vecteur `vec V` n'est par projeté dans R mais dans un autre repère `R_1(O,vec x_1,vec y_1, vec z_1)` en mouvement par rapport à R, son expression devient alors `vec V= x.vec x_1+y.vec y_1+z.vec z_1`. Les vecteurs `vec x_1, vec y_1` et `vec z_1` n'étant pas forcement constants au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont non nulles.

Donc il faut:

  • soit projeter le vecteur `vec V` dans R. Les calculs deviennent alors assez lourds du fait de l'apparition de fonctions sin et cos à dériver.
  • soit de calculer ` [(d vec x_1)/(dt)]_R, [(d vec y_1)/(dt)]_R` et `[(d vec z_1)/(dt)]_R` (voir paragraphe suivant)

Dérivation composée - Formule de Bour

Dérivée temporelle d'un vecteur unitaire par rapport à un repère- Cas particulier d'une seule rotation

Soit `(vec x_1, vec y_1, vec z_1)` la base d'un repère `R_1` mobile par rapport à R.


Rotation repere.PNG

Dans un premier temps, on considère que `R_1` est orienté par une seule rotation autour d'un axe de R, par exemple une rotation d'angle `psi` autour de `vec z` alors : `vec x_1=cos psi vec x+ sin psi vec y` et `vec y_1=cos psi vec y- sin psi vec x`

`[(d vec x_1)/(dt)]_R= - dot psi sin psi vec x + dot psi cos psi vec y = dot psi vec y_1 = dot psi vec z^^vec x_1` et

`[(d vec y_1)/(dt)]_R= - dot psi cos psi vec x + dot psi sin psi vec y = -dot psi vec x_1 = dot psi vec z^^vec y_1`

et comme `vec Omega_(R_1//R)= dot psi vec z` on a :

  • `[(d vec x_1)/(dt)]_R= vec Omega_(R_1//R)^^vec x_1`
  • `[(d vec y_1)/(dt)]_R= vec Omega_(R_1//R)^^vec y_1`

Généralisation - composition des vitesses de rotation

Soient n bases `R_i` définies les unes par rapport aux autres par des vecteurs vitesse de rotation successifs `vec Omega_(R_i//R_(i-1))`.

On peut écrire : `vec Omega_(R_n//R_1) = vec Omega_(R_n//R_(n-1))+vec Omega_(R_(n-1)//R_(n-2))+...+vec Omega_(R_2//R_1)`

On peut donc généraliser les résultats du paragraphe précédent à un repère `R_1` issu de R par un vecteur vitesse de rotation quelconque `vec Omega_(R_1//R)` (et non plus seulement confondu avec un axe de R). On obtient alors :


  • `[(d vec x_1)/(dt)]_R= vec Omega_(R_1//R)^^vec x_1`
  • `[(d vec y_1)/(dt)]_R= vec Omega_(R_1//R)^^vec y_1`
  • `[(d vec z_1)/(dt)]_R= vec Omega_(R_1//R)^^vec z_1`

Dérivée temporelle d'un vecteur quelconque par rapport à un repère

Rotation repere quelconque.PNG

Soit un vecteur `vec V` repéré dans le repère `R_1(O,vec x_1,vec y_1, vec z_1)` par `vec V= x.vec x_1+y.vec y_1+z.vec z_1`.

Le repère `R_1` est défini par rapport au repère R par son vecteur vitesse de rotation `vec Omega_(R_1//R) ` quelconque.

La dérivée temporelle de `vec V` dans `R_1` s'écrit :

`[(d vec V)/(dt)]_(R_1)= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1`

Si on cherche sa dérivée temporelle par rapport à R :

`[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1 + x. [(d vec x_1)/(dt)]_R + y. [(d vec y_1)/(dt)]_R+ z. [(d vec z_1)/(dt)]_R`

`[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1 + x.vec Omega_(R_1//R)^^vec x_1 +y.vec Omega_(R_1//R)^^vec y_1+z.vec Omega_(R_1//R)^^vec z_1`

`[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1 + vec Omega_(R_1//R)^^(x vec x_1+ y.vec y_1+z.vec z_1)`

D'où :

Formule de Bour

`[(d vec V)/(dt)]_R= [(d vec V)/(dt)]_(R_1) + vec Omega_(R_1//R)^^vec V`