Outils de dérivation vectorielle

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Dérivation directe ou en coordonnées cartésiennes

Soit un vecteur [math] \overrightarrow{V}[/math]repéré dans le repère [math]R(O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})[/math] par [math] \overrightarrow{V}= x. \overrightarrow{x}+y. \overrightarrow{y}+z. \overrightarrow{z}[/math]. La dérivée temporelle de ce vecteur par rapport au repère R s'écrit :

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= \frac {dx}{dt}. \overrightarrow{x}+ x. [ \frac {d \overrightarrow{x}}{dt}]_{R} + \frac {dy}{dt}. \overrightarrow{y}+ y. [ \frac {d \overrightarrow{y}}{dt}]_{R}+ \frac {dz}{dt}. \overrightarrow{z}+ z. [ \frac {d \overrightarrow{z}}{dt}]_{R}[/math]

Les vecteurs [math] \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}[/math] et [math] \overrightarrow{z}[/math] étant constant au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont nulles, donc :

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= \frac {dx}{dt}. \overrightarrow{x}+ \frac {dy}{dt}. \overrightarrow{y}+ \frac {dz}{dt}. \overrightarrow{z}[/math]

Pour simplifier l'écriture, on note [math] \frac {d u}{dt}= \dot{u}[/math] donc :

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= \dot{x}. \overrightarrow{x}+ \dot{y}. \overrightarrow{y}+ \dot{z}. \overrightarrow{z}[/math]

Si le vecteur [math] \overrightarrow{V}[/math] n'est par projeté dans R mais dans un autre repère [math]R_{1}(O, \overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{y_{1}}, \overrightarrow{z_{1}})[/math] en mouvement par rapport à R, son expression devient alors [math] \overrightarrow{V}= x. \overrightarrow{x_{1}}+y. \overrightarrow{y_{1}}+z. \overrightarrow{z_{1}}[/math]. Les vecteurs [math] \overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{y_{1}}[/math] et [math] \overrightarrow{z_{1}}[/math] n'étant pas forcement constants au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont non nulles.

Donc il faut:

  • soit projeter le vecteur [math] \overrightarrow{V}[/math] dans R. Les calculs deviennent alors assez lourds du fait de l'apparition de fonctions sin et cos à dériver.
  • soit de calculer [math] [ \frac {d \overrightarrow{x_{1}}}{dt}]_{R}, [ \frac {d \overrightarrow{y_{1}}}{dt}]_{R}[/math] et [math][ \frac {d \overrightarrow{z_{1}}}{dt}]_{R}[/math] (voir paragraphe suivant)

Dérivation composée - Formule de Bour

Dérivée temporelle d'un vecteur unitaire par rapport à un repère- Cas particulier d'une seule rotation

Soit [math]( \overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{y_{1}}, \overrightarrow{z_{1}})[/math] la base d'un repère [math]R_{1}[/math] mobile par rapport à R.


[[Image:Rotation_{repere}.PNG|thumb|200px]]

Dans un premier temps, on considère que [math]R_{1}[/math] est orienté par une seule rotation autour d'un axe de R, par exemple une rotation d'angle [math]\psi[/math] autour de [math] \overrightarrow{z}[/math] alors : [math] \overrightarrow{x_{1}}=cos \psi \overrightarrow{x}+ sin \psi \overrightarrow{y}[/math] et [math] \overrightarrow{y_{1}}=cos \psi \overrightarrow{y}- sin \psi \overrightarrow{x}[/math]

[math][ \frac {d \overrightarrow{x_{1}}}{dt}]_{R}= - \dot{\psi} sin \psi \overrightarrow{x} + \dot{\psi} cos \psi \overrightarrow{y} = \dot{\psi} \overrightarrow{y_{1}} = \dot{\psi} \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{x_{1}}[/math] et

[math][ \frac {d \overrightarrow{y_{1}}}{dt}]_{R}= - \dot{\psi} cos \psi \overrightarrow{x} + \dot{\psi} sin \psi \overrightarrow{y} = - \dot{\psi} \overrightarrow{x_{1}} = \dot{\psi} \overrightarrow{z} \wedge \overrightarrow{y_{1}}[/math]

et comme [math] \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}}= \dot{\psi} \overrightarrow{z}[/math] on a :

  • [math][ \frac {d \overrightarrow{x_{1}}}{dt}]_{R}= \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{x_{1}}[/math]
  • [math][ \frac {d \overrightarrow{y_{1}}}{dt}]_{R}= \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{y_{1}}[/math]

Généralisation - composition des vitesses de rotation

Soient n bases [math]R_{i}[/math] définies les unes par rapport aux autres par des vecteurs vitesse de rotation successifs [math] \overrightarrow{\Omega_{R_{i}/R_{i-1}}}[/math].

On peut écrire : [math] \overrightarrow{\Omega_{R_{n}/R_{1}}} = \overrightarrow{\Omega_{R_{n}/R_{n-1}}}+ \overrightarrow{\Omega_{R_{n-1}/R_{n-2}}}+...+ \overrightarrow{\Omega_{R_{2}/R_{1}}}[/math]

On peut donc généraliser les résultats du paragraphe précédent à un repère [math]R_{1}[/math] issu de R par un vecteur vitesse de rotation quelconque [math] \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}}[/math] (et non plus seulement confondu avec un axe de R). On obtient alors :


  • [math][ \frac {d \overrightarrow{x_{1}}}{dt}]_{R}= \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{x_{1}}[/math]
  • [math][ \frac {d \overrightarrow{y_{1}}}{dt}]_{R}= \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{y_{1}}[/math]
  • [math][ \frac {d \overrightarrow{z_{1}}}{dt}]_{R}= \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{z_{1}}[/math]

Dérivée temporelle d'un vecteur quelconque par rapport à un repère

Rotation repere quelconque.PNG

Soit un vecteur [math] \overrightarrow{V}[/math] repéré dans le repère [math]R_{1}(O, \overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{y_{1}}, \overrightarrow{z_{1}})[/math] par [math] \overrightarrow{V}= x. \overrightarrow{x_{1}}+y. \overrightarrow{y_{1}}+z. \overrightarrow{z_{1}}[/math].

Le repère [math]R_{1}[/math] est défini par rapport au repère R par son vecteur vitesse de rotation [math] \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} [/math] quelconque.

La dérivée temporelle de [math] \overrightarrow{V}[/math] dans [math]R_{1}[/math] s'écrit :

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R_{1}}= \dot{x}. \overrightarrow{x_{1}}+ \dot{y}. \overrightarrow{y_{1}}+ \dot{z}. \overrightarrow{z_{1}}[/math]

Si on cherche sa dérivée temporelle par rapport à R :

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= \dot{x}. \overrightarrow{x_{1}}+ \dot{y}. \overrightarrow{y_{1}}+ \dot{z}. \overrightarrow{z_{1}} + x. [ \frac {d \overrightarrow{x_{1}}}{dt}]_{R} + y. [ \frac {d \overrightarrow{y_{1}}}{dt}]_{R}+ z. [ \frac {d \overrightarrow{z_{1}}}{dt}]_{R}[/math]

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= \dot{x}. \overrightarrow{x_{1}}+ \dot{y}. \overrightarrow{y_{1}}+ \dot{z}. \overrightarrow{z_{1}} + x. \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{x_{1}} +y. \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{y_{1}}+z. \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{z_{1}}[/math]

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= \dot{x}. \overrightarrow{x_{1}}+ \dot{y}. \overrightarrow{y_{1}}+ \dot{z}. \overrightarrow{z_{1}} + \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge (x \overrightarrow{x_{1}}+ y. \overrightarrow{y_{1}}+z. \overrightarrow{z_{1}})[/math]

D'où :

Formule de Bour

[math][ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R}= [ \frac {d \overrightarrow{V}}{dt}]_{R_{1}} + \overrightarrow{\Omega_{R_{1}/R}} \wedge \overrightarrow{V}[/math]