Mouvements relatifs entre solides - Liaisons

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Définitions

Mécanisme

Un mécanisme est un ensemble de solide en contact les uns avec les autres. Chaque solide a une ou plusieurs possibilités de mouvement par rapport aux solides dont il est en contact.

Aspect fonctionnel

Les solides (ou pièces) d'un mécanisme remplissent, indépendamment les uns des autres, des fonctions qui leurs sont propres (résistance au milieu ambiant, esthétique, ergonomique, cout de fabrication...). Les assembler dans un mécanisme permet d'ajouter à l'ensemble une fonction plus complexe tout en respectant les fonctions particulières des pièces.

Exemple de la roue

La roue est un organe ou pièce mécanique de forme circulaire tournant autour d'un axe passant par son centre.

Cette invention très ancienne constitue un des fondements de nos technologies des transports. Elle permet de déplacer sur terre des charges importantes, en réduisant les forces de frottement. Elle est, encore aujourd'hui, indispensable dans la plupart des moyens de transport terrestres.

Roue 03.jpg
Tgv img fr1.jpg
Char égyptien à deux roues provenant d'une tombe de la nécropole thébaine (1580-1320 avant notre ère, Musée archéologique, Florence)
Montage d'un essieu de TGV du record de vitesse (515,3 km/h)

D'un point de vue mécanique, on peut décomposer un véhicule roulant en deux solides indépendants : le chassis et l'ensemble roues/essieu, chacun de ces ensembles ayant un mouvement différent (respectivement une translation et une rotation autour du point de contact avec le sol). L'assemblage de ces deux solides permet une rotation relative entre les deux autour de l'axe de l'essieu.

Les fonctions particulières au chassis sont:

  • supporter une charge;
  • assurer le confort et la sécurité des personnes embarquées;
  • repondre à des critères esthétiques;
  • assurer la traction ou la liaison avec un système tracteur;
  • assurer la liaison avec l'essieu...

Les fonctions particulières à l'ensemble roue/essieu sont :

  • résister aux chocs et à la charge du châssis;
  • assurer l'adhérence sur la route;
  • résister à l'usure;
  • répondre à des critères esthétiques;
  • assurer la liaison avec le châssis;

la fonction principale de l'ensemble est : permettre le déplacement du châssis par rapport à la route en limitant les frottement et l'usure.

Cette fonction, permise par l'un des premier mécanisme de l'histoire est d'une grande valeur et a eu un impact considérable dans l'évolution de l'humanité dans son environnement.

Torseur cinématique dans un mécanisme

Torseurs cinématique dans un mécanisme généralisé

Chaque solide à un mouvement particulier par rapport au bati (pièce considérée comme fixe) du mécanisme définissable par un torseur cinématique.

On peut également étudier le mouvement relatif des solides entre eux et écrire le torseur cinématique du solide [math]S_i[/math] par rapport au solide [math]S_j[/math].

Mobilités d'un solide libre dans l'espace

Les 6 mobilités d'un solide libre dans l'espace

Un solide possède 6 degrés de liberté dans l'espace. Selon un référenciel [math]R(O, \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})[/math], il y a :

  • 3 translations Tx, Ty, Tz ;
  • 3 rotations Rx, Ry, Rz.

Forme du contact - liaison

Dans un mécanisme, certains solides sont en contact. Ces contacts constituent des liaisons entre les solides. Elles limitent les mouvements relatifs des solides. Certaines mobilités relatives sont donc impossibles.

La forme du torseur cinématique relatif de deux solide en contact dépend, donc, de la forme du contact.

Surfaces élémentaires

Plan

Plan3D.PNG Positionné dans l'espace par sa normale (ici [math] \overrightarrow{n}[/math]) et un point O lui appartenant.

Cylindre

Cylindre3D.PNGCylindre creux 3D.PNG Positionné dans l'espace par son axe (ici [math] \overrightarrow{a}[/math]) et un point O de son axe.

On peut considérer la forme intérieure ou extérieure.

Sphère

Sphere3D.PNGSphere creux 3D.PNG Positionnée dans l'espace par son centre O.

On peut considérer la forme intérieure ou extérieure.

Associations de surfaces élémentaires

En associant les surfaces élémentaires ci-dessus, on obtient 6 liaisons élémentaires.

Liaison ponctuelle

C'est la liaison obtenue par contact d'un plan et d'une sphère.

Liaison ponctuelle de centre O et de normale [math]\overrightarrow n[/math]

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Ponctuelle 3D.PNG 5 mobilités :
  • 2 translations d'axes orthogonaux à [math]\overrightarrow n[/math];
  • 3 rotations.
Ponctuelle schema2D.PNG Ponctuelle schema3D.PNG Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z}=\overrightarrow {n})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & V_x \\ \omega_y & V_y \\ \omega_z & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Table billes.PNG Dans une table à billes, chaque contact entre l'objet convoyé et une bille peut être considéré comme une liaison ponctuelle (L'ensemble des contacts billes/objet à convoyer réalise une liaison appui-plan).

Liaison appui-plan

C'est la liaison obtenue par contact de deux plans. Son repérage dans l'espace est défini par la normale commune aux deux plans

Liaison appui-plan de normale [math]\overrightarrow n[/math]

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Appui plan 3D.PNG 3 mobilités :
  • 2 translations d'axes orthogonaux à [math]\overrightarrow n[/math];
  • 1 rotation autour de [math]\overrightarrow n[/math].
Appui plan schema2D.PNG Appui plan schema3D.PNG Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z}=\overrightarrow {n})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & V_x \\ 0 & V_y \\ \omega_z & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple : Un objet posé sur une table à billes, un livre à plat sur une table...

Liaison pivot-glissant

C'est la liaison obtenue par contact de deux cylindres coaxiaux. Son repérage dans l'espace est défini par l'axe commun aux deux cylindres et par le point O de cet axe.

Liaison pivot glissant d'axe [math]\overrightarrow a[/math] et de centre O

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Pivot glissant 3D.PNG 2 mobilités :
  • 1 translation d'axe[math]\overrightarrow a[/math];
  • 1 rotation d'axe [math]\overrightarrow a[/math].
Pivot glissant schema2D.PNG Pivot glissant schema3D.PNG Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x = \overrightarrow a,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & V_x \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Verin-pneumatique.PNG Dans un vérin pneumatique, le piston est en liaison pivot glissant par rapport au corps.

Liaison sphérique ou rotule

C'est la liaison obtenue par contact de deux sphères concentriques. Son repérage dans l'espace est défini par le centre O des sphères.

Liaison rotule de centre O

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Rotule 3D.PNG 3 mobilités : 3 rotations.
Rotule schema.PNG
Rotule schema.PNG
Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & 0 \\ \omega_y & 0 \\ \omega_z & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Rotule photo.PNG Certains pieds d'appareils photo dispose d'une rotule pour orienter l'appareil librement.

Liaison linéaire rectiligne

C'est la liaison obtenue par contact d'un cylindre et d'un plan. Le contact entre les deux surfaces est une ligne droite, d'où son nom. Son repérage dans l'espace est défini par l'axe du cylindre et par la normale au plan.

Liaison linéaire rectiligne d'axe [math]\overrightarrow a[/math] et de normale [math]\overrightarrow {n}[/math]

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Lineaire rectiligne 3D.PNG 4 mobilités :
  • 2 translations d'axe[math]\overrightarrow a[/math] et d'axe orthogonale à [math]\overrightarrow a[/math] et à [math]\overrightarrow n[/math];
  • 2 rotations d'axe [math]\overrightarrow a[/math] et [math]\overrightarrow n[/math].
Lineaire rectiligne schema2D.PNG Lineaire rectiligne schema3D.PNG Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x = \overrightarrow a,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z}=\overrightarrow {n})[/math] [math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & V_x \\ 0 & V_y \\ \omega_z & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Involute wheel.gif Le contact entre les dents d'un engrenage à denture droite sont des liaisons linéaires rectilignes.

Liaison linéaire annulaire

C'est la liaison obtenue par contact d'une sphère et d'un cylindre. Le contact entre les deux surfaces est une ligne circulaire, d'où son nom. Son repérage dans l'espace est défini par l'axe du cylindre et par le centre de la sphère.

Liaison linéaire annulaire d'axe [math]\overrightarrow a[/math] et de centre O

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Lineaire annulaire 3D.PNG 4 mobilités :
  • 1 translation d'axe[math]\overrightarrow a[/math];
  • 3 rotations.
Lineaire annulaire schema2D.PNG Lineaire annulaire schema3D.PNG Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x =\overrightarrow a,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & V_x \\ \omega_y & 0 \\ \omega_z & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Roulement rotule.PNG Un roulement rotule monté avec jeu sur l'arbre ou dans l'alésage est modélisable par une liaison linéaire annulaire.

Autres liaisons, liaisons composées

D'autres liaisons, trés employées dans la technologie sont obtenues par composition de plusieurs liaisons élémentaires.

Liaison encastrement

La liaisons encastrement ou liaison fixe, ne permet aucune mobilités. On peut l'obtenir en utilisant plusieurs liaisons élémentaires. Par exemple, un appui-plan, une linéaire rectiligne et une ponctuelle.

Liaison encastrement

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Encastrement 3D.PNG aucune mobilité
Encastrement schema.PNG
Encastrement schema.PNG
Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x ,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Poulie.PNG Une poulie montée en bout d'arbre réalise nue liaison encastrement démontable.

Liaison pivot

La liaison est certainement la plus répendue dans la technologie courante. On peut l'obtenir en utilisant plusieurs liaisons élémentaires. Par exemple, un pivot glissant et un appui-plan.

Elle est repérée par son axe et un point de son axe.

Liaison pivot d'axe [math]\overrightarrow a[/math] et de centre O

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Pivot 3D.PNG 1 mobilité : rotation d'axe [math]\overrightarrow {a}[/math]
Pivot schema2D.PNG
Pivot schema3D.PNG
Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x = \overrightarrow a,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Rollers.PNG Une roue de rollers est en liaison pivot avec la structure du roller.

Liaison glissière

On peut obtenir la liaison glissière en utilisant plusieurs liaisons élémentaires. Par exemple, une linéaire rectiligne et un appui-plan.

Elle est repérée par son axe.

Liaison glissière d'axe [math]\overrightarrow a[/math]

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Glissiere 3D.PNG 1 mobilité : translation d'axe [math]\overrightarrow {a}[/math]
Glissiere schema2D.PNG
Glissiere schema3D.PNG
Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x = \overrightarrow a,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & V_x \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Trombone.PNG La coulisse d'un trombone est liée au corps de l'instrument par une glissière, associant deux pivot glissants d'axe parallèles (solution hyperstatique).

Liaison hélicoïdale ou vis-écrou

La liaison hélicoïdale est obtenue par contact entre deux surfaces hélicoïdales.

Elle est repérée par son axe et un point de son axe.

Liaison hélicoïdale d'axe [math]\overrightarrow a[/math] et de centre O

Représentation
Mobilités
Schémas normalisés 2D
Schéma normalisé 3D
Torseur cinématique
Helicoidale 3D.PNG 1 mobilité : translation d'axe [math]\overrightarrow {a}[/math] combinée à une rotation d'axe [math]\overrightarrow {a}[/math]
Helicoidale schema2D.PNG
Helicoidale schema3D.PNG
Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x = \overrightarrow a,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z})[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & V_x=\frac p {2.\pi}.\omega_x \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0, R }[/math]

Exemple :

Vis.PNG Les assemblages filetés constituent des liaisons hélicoïdales.

Liaison Rotule à doigt

La liaison rotule à doigt est obtenue par composition d'une liaison rotule et d'une linéaire réctiligne.

Elle est repérée par l'axe autour duquel la rotation est impossible et le centre de la sphère.

Liaison rotule à doigt de centre O

Représentation
Mobilités
Schéma normalisé 2D/3D
Torseur cinématique
Rotule a doigt 3D.PNG 2 mobilité : 2 rotations autours des deux axes orthogonaux à [math]\overrightarrow {a}[/math]
Rotule a doigt schema.PNG
Dans le repère

[math]R(\overrightarrow x ,\overrightarrow {y},\overrightarrow {z}= \overrightarrow a)[/math]

[math] \left \lbrace V_{ S_2/S_1 } \right \rbrace_O = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_x & 0 \\ \omega_y & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right \rbrace_{ 0 , R }[/math]

Exemple :

Cardan.gif Un joint de cardan constitue une liaison rotule à doigt.