Mouvements plans - Cinématique graphique

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Mouvement plan sur plan

Définition

Si un solide `S_1` associé au `R_1(O_1, vec(x_1), vec(y_1), vec (z_1))` est en mouvement par rapport à un solide `S_0` associé au `R_0(O_0, vec(x_0), vec(y_0), vec (z_0))` tel que le plan `(O_1, vec(x_1), vec(y_1))` reste constamment confondu avec le plan `(O_0, vec(x_0), vec(y_0))`, alors le mouvement de `S_1` par rapport à `S_0` est un mouvement plan.

Propriétés

La définition précédente implique que :

  • les vecteurs vitesse des points du solide `S_1` par rapport à `S_0` sont dans le plan `(O_0, vec(x_0), vec(y_0))` : `AA M in S_1, vec(V_(M in S_1//s_0)).vec(z_0)= 0 `
  • le vecteur instantané de rotation de `S_1//S_2` est colinéaire à la normale au plan `(O_0, vec(x_0), vec(y_0))` : `vec(Omega_(S_1//S_0))^^vec(z_0)=vec 0`

Le torseur cinématique du mouvement de `S_1` par rapport à `S_0` prend donc la forme simplifiée :

`{V_(S_1//s_0)}_M = {(0, v_x), (0, v_y), (omega_z, 0):} }_M`

Simplification des torseurs cinématiques

Si les mouvements des pièces d'un mécanisme peuvent être ramenés à des mouvement plans par rapport au repère générale (repère lié au bâti), les torseurs cinématiques des mouvements relatifs des solides peuvent être simplifiés comme précédemment.


Exemple : système bielle-manivelle

Schema cinematique bielle manivelle3.PNG

Le système bielle-manivelle représenté ci-dessus admet une simplification dans le plan `(O, vec(x), vec(y))`.

En conséquence, le torseur cinématique de la liaison pivot-glissant d'axe `vec x` entre les solides 2 et 3 admet le simplification suivante :

  • dans l'espace : `{V_(2//3)}_B = {(omega_x, v_x), (0, 0), (0, 0):} }_B`
  • simplifié dans le plan `(O, vec(x), vec(y))` : `{V_(2//3)}_B = {(0, v_x), (0, 0), (0, 0):} }_B`

Ce type de raisonnement se généralise à tous les torseurs des liaisons et permet ainsi de minimiser le nombre d'inconnues cinématiques. Ainsi, il n'y a que 3 degrés de liberté au maximum par liaison dans un problème plan.

Outils de cinématique graphique

La cinématique graphique consiste en exploiter les propriétés des champs de vecteurs vitesse par constructions graphiques :

  • distribution de vitesse dans un solide en rotation
    • vecteur vitesse perpendiculaire au rayon de la trajéctoire
    • vecteur vitesse inscrit dans le triangle des vitesses
  • équiprojectivité des vecteurs vitesses

Il est donc nécessaire de pouvoir représenter le mécanisme dans un plan qui recevra les constructions graphiques. La cinématique graphique ne peut donc s'appliquer qu'aux mécanismes admétant une simplification plane.

Centre instantané de rotation (CIR)

Centre instantané de rotation (CIR)

Soit un solide S en mouvement plan par rapport à R :

Le torseur cinématique du mouvement de `S` par rapport à R en un point quelconque M est:

`{V_(S//R)}_M = {(0, v_x), (0, v_y), (omega_z, 0):} }_M`

On appelle centre instantané de rotation du solide S par rapport à R le point I tel que :

`vec(V_(I in S//R))=vec 0`

Remarques :

  • I est donc un point central du torseur cinématique de S par rapport à R. Le CIR(S/R) correspond donc à l'intersection de l'axe central du torseur cinématique de S/R avec le plan d'évolution du solide S.
  • Le CIR est "instantané", c'est à dire que, dans le cas général, sa position est attachée à un instant donnée et à une position particulière du mécanisme.
  • Le CIR peut être un point défini en dehors de la limite matérielle du solide S.


Répartition des vecteurs vitesse autour du CIR

A un instant t, tout se passe comme si le solide est en rotation pure autour du CIR.

  • les vecteurs vitesses des points du solide S sont donc orthogonaux au rayon de leur trajectoires;
  • ils sont inscrits dans un triangle de vitesse issu du CIR.

Répartition des vecteurs vitesse autour du CIR

Remarque : Si le solide S est en liaison pivot par rapport au bati du mécanisme, son mouvement est une rotation autour du centre de la liaison. Le CIR est alors confondu avec ce point et est fixe au cours du temps.


Détermination graphique du CIR

Par définition, le vecteur vitesse du point M quelconque du solide S par rapport à R est orthogonale à la droite passant par le point M et par le CIR de S/R.

Si on connait les directions des vitesses de deux points M et M' du solide S, le CIR de S/R est à l'intersection des deux perpendiculaires à ces directions passant par M et M'.

Détermination graphique du CIR

Détermination graphique des vitesses en utilisant le CIR

En connaissant la position de I, CIR de S/R et la vitesse du point A, on détermine la vitesse d'un point B quelconque du solide de la manière suivante :

  • on trace le point A', équidistant de A (IA=IA') et appartenant à la droite (IB);
  • on trace le vecteur vitesse `vec(V_(A' in S//R))` de même norme que `vec(V_(A in S//R))` et orthogonal à la droite (IB);
  • on trace la droite passant par I et par l'extrémité de `vec(V_(A' in S//R))`, c'est le triangle des vitesses qui inscrit `vec(V_(A' in S//R))`;
  • on trace le vecteur vitesse `vec(V_(B in S//R))`, orthogonale à (IB) et dont l'extrémité est sur la droite tracée précédemment.

Détermination graphique des vitesses avec le CIR

Base et roulante

La base du mouvement de S par rapport à R est la trajectoire du CIR de S/R dans le repère R.

La roulante du mouvement de S par rapport à R est la trajectoire du CIR de S/R dans le repère lié au solide S.

La base et la roulante du mouvement de S/R sont à chaque instant tangentes au CIR de S/R et roulent sans glisser l'une sur l'autre en ce point.

Composition de mouvements

La loi de composition des vecteurs vitesse est exploitable graphiquement. Voir le cours sur la composition de mouvement.

Equiprojectivité

On a vu (Champs de vecteurs equiprojectifs) que le champ de vecteurs vitesse d'un solide est équiprojectif. On utilise cette propriété pour obtenir des relations graphiques entre différentes vitesses de points d'un solide.

Sur la figure de construction ci-dessous, on a AA' = BB'. On peut donc déterminer `vec(V_(B in S//R))` à partir de `vec(V_(A in S//R))` à l'aide de la longueur de sa projection sur la droite (AB). Mais il est nécessaire de connaitre au préalable la direction de `vec(V_(B in S//R))`. Equiprojéctivité des vecteurs vitesse centre d'intérêt:cinématique du solide