Moteur à courant continu

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Electric motor.gif

Un moteur à courant continu est une machine électrique. Il s'agit d'un convertisseur électromécanique permettant la conversion bidirectionnelle d'énergie entre une installation électrique parcourue par un courant continu et un dispositif mécanique. Elle est aussi appelée dynamo.

  • En fonctionnement moteur, l'énergie électrique est transformée en énergie mécanique.
  • En fonctionnement générateur, l'énergie mécanique est transformée en énergie électrique. La machine se comporte comme un frein.

Inventée par Zénobe Gramme (1826-1901), c'était au départ un simple générateur de courant continu.

Aspect fonctionnel[modifier]

Le moteur à courant continu est un convertisseur d'énergie.

Moteur cc.png

Il est réversible. Dans ce cas, il est appelé "génératrice".

Génératrice cc.png

Constitution et principes physiques[modifier]

Une machine électrique à courant continu est constituée :

  • D'un stator qui est à l'origine de la circulation d'un flux magnétique fixe créé soit par des enroulements statoriques (bobinage) soit par des aimants permanents. Il est aussi appelé « inducteur » en référence au fonctionnement en génératrice de cette machine.
  • D'un rotor bobiné. Les enroulements rotoriques sont aussi appelés enroulements d'induits, ou communément « induit » en référence au fonctionnement en génératrice de cette machine.
Schema moteur cc.png


  • Le courant I, injecté via les balais au collecteur, traverse le bobinage du rotor et change de sens (commutation) pendant la rotation grâce au système balais-collecteur. Ceci permet de maintenir la magnétisation du rotor perpendiculaire à celle du stator pendant la rotation.
  • L'existence du couple s'explique par l'interaction magnétique entre stator et rotor et est proportionnelle à I.

Force contre-électromotrice[modifier]

Dans le cas d'un fonctionnement en génératrice, le bobinage du rotor, traversé par le courant I se déplace dans le champ statorique. Il est donc le siège d'un courant induit (loi de Lenz) proportionnelle à l'intensité du champ statorique et à sa vitesse de déplacement, donc à la fréquence de rotation. L'ensemble de ces forces a pour conséquence l'apparition d'une force électromotrice (FEM) globale aux bornes de l'enroulement rotorique qui est proportionnelle à l'intensité du champ statorique et à la vitesse de rotation du moteur et qui permet la production de courant.

Dans le cas d'un fonctionnement en moteur, cette FEM est produite également mais s'oppose au courant d'alimentation du moteur. Elle est alors appelée "force contre-électromotrice" (FCEM).

Modélisation de la partie électrique[modifier]

La partie électrique du moteur peut-être simplifiée au schéma suivant :

Schema elec mcc.PNG

où :

  • [math]I[/math] est le courant traversant l'induit (A);
  • [math]U[/math] est la tension aux bornes de l'induit (V);
  • [math]L[/math] est l'inductance des enroulements du moteur (mH);
  • [math]R[/math] est la résistance électrique interne du moteur (Ohm);
  • [math]E[/math] est la force contre-électromotrice (symbolisé par un générateur);
  • [math]U_{L}[/math], [math]U_{R}[/math] et [math]U_{E}[/math] sont les tensions aux bornes de l'inductance, de la résistance et de la FCEM.

Les équations électriques sont :

  • [math]U(t)= U_{L(t)}+U_{R(t)}+U_{E(t)}=L \frac {dI(t)}{dt}+R.I(t)+U_{E(t)}[/math]
  • [math]U_{E(t)}=K_{E}.\omega(t)[/math][math]K_{E}[/math] est la constante de force électromotrice qui relie cette FCEM à la vitesse de rotation de l’arbre moteur [math]\omega(t)[/math]

Modélisation de la partie mécanique[modifier]

Le modèle mécanique simplifié consiste à représenter le rotor par un volant d'inertie [math]J[/math] soumis à :

  • un couple moteur [math]C_{m}[/math] provenant du champ magnétique tel que [math]C_{m} = K_{c}.I(t)[/math][math]K_{c}[/math] est la constante de couple;
  • un couple de frottement [math]C_{f}[/math] proportionnel à la vitesse de rotation du rotor tel que [math]C_{f} = f.\omega(t)[/math][math]f[/math] est le coefficient de frottement visqueux.

Le principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton) appliqué à un solide en rotation permet d'écrire :

[math]C_{m}-C_{f}=J. \frac {d \omega(t)}{dt}[/math] [math]=\gt K_{c}.I(t)-f.\omega(t)=J. \frac {d \omega(t)}{dt}[/math]

Fonction de transfert du système[modifier]

[math]U(t)[/math] est l'entrée du système et [math]\omega(t)[/math] est la sortie.

On considère que les conditions initiales sont nulles.

Transformation dans le domaine de Laplace

Equations électriques :


  • [math]U(p)= L p I(p)+R.I(p)+U_{E(p)}[/math]
  • [math]U_{E(p)}=K_{E}.\Omega(p)[/math]

[math]=\gt U(p)= L p I(p)+R.I(p)+ K_{E}.\Omega(p)[/math] (1)

Equation mécanique :

[math]K_{c}.I(p)-f.\Omega(p)=J.p. \Omega(p)[/math] (2)

Fonction de transfert

(1) [math]=\gt U(p)- K_{E}.\Omega(p) = I(p)(L p +R) [/math] [math]=\gt I(p)= \frac { U(p)- K_{E}.\Omega(p)}{L p +R} [/math]

En remplaçant dans l'équation (2) :

[math]K_{c}. \frac { U(p)- K_{E}.\Omega(p)}{L p +R}-f.\Omega(p)=J.p. \Omega(p)[/math]

[math]=\gt K_{c}. \frac { U(p)}{L p +R}=(J.p.+f+ \frac {K_{c}.K_{e}}{L p +R}) \Omega(p)[/math]

[math]=\gt \frac {\Omega(p)}{ U(p)} = \frac {K_{c}}{(J.p.+f)(L p +R)+K_{c}.K_{e}}[/math]

Fonction de transfert du moteur CC

[math] H(p)= \frac {\Omega(p)}{ U(p)} = \frac {K_{c}}{J.L.p².+(J.R+L.f)p+R.f+K_{c}.K_{e}}[/math]

Il s'agit d'un système du second ordre.

Schéma-bloc[modifier]

Partie électrique[modifier]

Le schéma bloc de la partie électrique est construit à partir des schéma-blocs élémentaires suivants :

Bobine (Inductance)

Schéma Équations temporelles Transformée Schéma bloc

Schema bobine.PNG

[math]U_{L}(t)=L. \frac {di(t)}{dt}[/math]

[math] \frac {di(t)}{dt}= \frac {U_{L}(t)}{L}[/math]

[math]i(t_{1})= \frac {1}{L}\int_0^{t_{1}}U_L(t).dt[/math]

[math]I(p)= \frac {1}{L.p}.U(p)[/math]


U(p)
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{L.p}[/math]
[math]I(p)[/math]
Fleche droite3.PNG

Résistance

Schéma Équations temporelles Transformée Schéma bloc

Schema resistance.PNG

[math]u(t) = R . i(t)[/math] [math]U(p)=R . I(p)[/math]


[math]I(p)[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math]R[/math]
[math]U(p)[/math]
Fleche droite3.PNG

La tension [math]U_{L}[/math] dans la bobine est obtenue en retranchant [math]U_{E}[/math] puis [math]U_{R}[/math] à la tension d'entrée [math]U[/math] du système.

Le schéma-bloc de la partie électrique peut-être le suivant :


[math]U-U_{E}[/math] [math]U_{L}[/math]
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{L.p}[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]R[/math]
[math]U_{R}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
[math]I[/math]
Fleche droite3.PNG

Partie mécanique[modifier]

Le schéma bloc de la partie mécanique est construit à partir des schéma-blocs élémentaires suivants :

Volant d'inertie

Schéma Équations temporelles Transformée Schéma bloc

Schema volant.PNG

[math]c(t)=J. \ddot{\theta(t)}[/math]

[math] \frac {d \omega(t)}{dt}= \frac {1}{J}c(t)[/math]

[math]\omega(t_{1})= \frac {1}{J}.int_{0^{t_{1}}}c(t).dt[/math]

[math]\Omega(p)= \frac {1}{J.p}.C(p)[/math]


[math]C(p)[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{J.p}[/math]
[math]\Omega(p)[/math]
Fleche droite3.PNG

Pivot visqueux (avec frottement fluide)

Schéma Équations temporelles Transformée Schéma bloc

Schema amortisseur rotation.PNG

[math]c(t) = \lambda . \omega(t)[/math] [math]C(p)= \lambda . \Omega(p)[/math]


[math]\Omega(p)[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math]\lambda[/math]
[math]C(p)[/math]
Fleche droite3.PNG


On obtient le schéma bloc suivant :


[math]C_{m}[/math] [math]\Sigma C[/math]
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{J.p}[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]f[/math]
[math]C_{f}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
[math]\Omega[/math]
Fleche droite3.PNG

Assemblage des deux parties[modifier]

[math]C_{m}[/math] étant proportionnel à l'intensité [math]I[/math], on ajoute un bloc de transmitance [math]K_{c}[/math] entre la partie électrique et la partie mécanique.

La force contre-éléctromotrice étant proportionnelle à [math]\Omega[/math], on ajoute une boucle de retour entre [math]\Omega[/math] et l'entrée [math]U[/math].


[math]U[/math]
[math]U-U_{E}[/math] [math]U_{L}[/math]
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{L.p}[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]R[/math]
[math]U_{R}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
[math]I[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math]K_{c}[/math]
[math]C_{m}[/math] [math]\Sigma C[/math]
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{J.p}[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]f[/math]
[math]C_{f}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
[math]\Omega[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]K_{e}[/math]
[math]U_{E}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG

Reduction du Schéma bloc[modifier]

[math]U[/math]
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{L.p+R}[/math]
[math]I[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math]K_{c}[/math]
[math]C_{m}[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math] \frac {1}{J.p+f}[/math]
[math]\Omega[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]K_{e}[/math]
[math]U_{E}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG


[math]U[/math]
Carré blanc.PNG
[math] \frac {K_{c}}{(L.p+R)(J.p+f)}[/math]
[math]\Omega[/math]
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
[math]K_{e}[/math]
[math]U_{E}[/math] Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG


[math]U[/math]
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
[math] \frac {K_{c}}{(L.p+R)(Jp+f)+K_{c}.K_{e}}[/math]
 [math]\Omega[/math]
Fleche droite3.PNG

Réponse à un échelon de tension[modifier]

Le type de réponse d'un système du second ordre dépend de la factorisation du dénominateur de la fonction de transfert (pôles réels ou pôles imaginaires). Il est donc indispensable de fixer les valeurs des différents paramètres de la fonction de transfert. Donc de faire une application numérique :

[math]K_{c}[/math] = 0.1 N.m/A

[math]J[/math] = 0.01 kg.m²

[math]K_{e}[/math] = 0.1 \frac {V}{rad}/s

[math]R[/math] = 0.1 Ohm

[math]L = 0.5 mH = 0.5.10^{-3} H[/math]

On négligera le coefficient de frottement [math]f[/math].

On sollicite le système avec un échelon de tension de 25 V.

La fonction de transfert devient :

[math]H(p)= \frac {0.1}{0.01*0.5*10^{-3}*p²+0.01*0.1*p+0.1*0.1}= \frac {0.1}{0.5*10^{-5}*p²+10^{-3}*p+0.01}[/math]

On a [math]U(p)= \frac {25}{p}[/math]

[math]=\gt \Omega(p)=H(p)*U(p)= \frac {2.5}{p(0.5*10^{-5}*p²+10^{-3}*p+0.01)}[/math]

Valeur finale :

[math]lim_{t-\gt oo} \omega(t) =lim_{p-\gt 0} p*\Omega(p)=lim_{p-\gt 0} \frac {2.5}{0.5*10^{-5}*p²+10^{-3}*p+0.01}= \frac {2.5}{0.01}=250 rad/s[/math]


Pour rechercher la transformée inverse, factorisons le dénominateur :

[math]\Delta=(10^{-3})^{2}-4*0.5*10^{-5}*0.01~=8*10^{-7}[/math]

On obtient [math]p_{1~}=-189,44[/math] et [math]p_{2~}=-10,56[/math].

[math]=\gt \Omega(p)= \frac {2.5}{p*(0.5*10^{-5}*(p-p_{1})(p-p_{2}))}= \frac {5*10^{5}}{p*(p+10,56)(p+189,44)}[/math]


Décomposition en éléments simples :

[math]\Omega(p)= \frac {A}{p}+ \frac {B}{p+11}+ \frac {C}{p+189}[/math]

On obtient :

  • A=250
  • B~=-264,75
  • C~=14,75

[math]\Omega(p)= \frac {250}{p}- \frac {264,75}{p+10,56}+ \frac {14,75}{p+189,44}[/math]

Ce qui donne dans le domaine temporel :

[math]\omega(t)=(250-264,75*e^{-10,56*t}+14,75*e^{-189,44*t})*u(t)[/math]


Le temps de réponse à 5%, mesuré sur la courbe ci-dessus, est de 0.29 s.

Les deux pôle de la fonction de transfert d'ordre de grandeur différents, on peut négliger le pôle le plus grand (-189,44), c'est à dire, celui qui correspond à la constante de temps la plus faible. Ci-dessus en pointillés, la réponse d'un système du premier ordre avec une constante de temps correspondant à la plus grande du système du second ordre : [math]\tau= \frac 1{10.55}[/math]