Modélisation des actions mécaniques

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amath On appelle action mécanique toute cause susceptible :

  • soit de maintenir un corps au repos ;
  • soit de créer un mouvement ;
  • soit de déformer un corps.


Modélisation vectorielle

Une action mécaniques peut être considérée comme un ensemble de forces s'exerçant entre les solides. Chacune de ces forces est modélisable par un vecteur lié dont les caractéristiques sont les suivantes :

Caractéristiques du vecteur force

La force exercée sur le solide S par son environnement `bar S` au point A est notée `vec (A_(bar S//S))`.

Vecteur force.PNG

  • l'origine du vecteur est le point du solide où s'applique la force;
  • le sens et la direction du vecteur correspondent au sens et à la direction de la force;
  • la norme du vecteur correspond à l'intensité, en Newton (N) de la force.

Modélisation locale

Il existe deux sortes d'actions mécaniques : actions à distance et actions de contact.

Actions mécaniques à distance

L'action mécanique d'un solide 1 sur un solide 2 est dite à distance si elle ne résulte pas d'une liaison mécanique entre 1 et 2. Ce sont essentiellement les actions magnétiques et l'action de la pesanteur. On parle alors d'actions volumiques car sur chaque particule élémentaire du solide, s'exerce une force volumique élémentaire `d vec(f_v)`.

Force volumique élémentaire

Action mécanique de pesanteur

Dans le cas de l'action de la pesanteur,

`d vec(f_v)= rho.vec g.dv`

  • `rho` est la masse volumique de la particule `(Kg//m^3)` ;
  • `vec g` le vecteur accélération de la pesanteur `(m//s^2)` ;
  • dV un élément de volume élémentaire `(m^3)`.

Actions mécaniques de contact

Les actions mécaniques de contact sont des actions de surface. Elles peuvent être de nature différente : Fluide/Solide ; Solide/Solide.

Force surfacique élémentaire

Force surfacique élémentaire (sans frottement)

Un élément de force surfacique est donné par

`d vec(f_s)= -P .vec n.ds`

  • `P` est la pression de contact (Pa) ;
  • `ds` un élément de surface élémentaire (`m^2`) ;
  • `vec n` la normale extérieure au plan de contact.

Le modèle de répartition des pressions de contact peut être uniforme, dépendant des déformations locales, correspondant à des critères d’usure constante, …

Remarque : Les actions de contact ponctuel sont impossibles car elles entraîneraient des pressions de contact infinies. Les solides en contact sont forcement déformés, la forme du contact est donc toujours surfacique.

Modélisation globale d'une action mécanique, torseur d'effort associé

La modélisation locale énoncée ci-dessus est lourde à manipuler dans la plupart des cas.

Il est plus simple de manipuler une entité mathématique unique, un torseur, noté `{T_(bar S->S)}_(A)` qui représente l'action mécanique de `bar S` sur `S` au point `A`.

Le principe est donc de sommer l'ensemble des actions mécaniques élémentaires de contact.

Étude d'un cas simplifié, nécessité du moment

Cas simple.PNG

Considérons un solide `S` qui subit 2 actions mécaniques élémentaires `vec (df_1)` et `vec (df_2)` aux points `A_1` et `A_2` de son environnement `bar S`. Les deux actions mécaniques élémentaires sont opposées : `vec (df_1)=-vec (df_2)`.

Dans le cas 1 représenté ci-contre, on considère que `A_1` est confondu avec `A_2`. La somme des `vec (df_i)` est nulle. L'action mécanique résultante de `bar S` sur `S` est nulle.

Dans le cas 2, la situation est similaire sauf que `A_1` n'est pas confondu avec `A_2`. La somme des `vec (df_i)` est encore nulle. Or l'action mécanique résultante de `bar S` sur `S` n'est pas nulle puisque le solide S est susceptible de subir une rotation ou une déformation sous l'effet de ces deux actions mécaniques élémentaires.

Il est donc nécessaire de tenir compte de la position des `A_i` pour élaborer une action mécanique globale représentant les actions élémentaires.

On va donc calculer le moment de chaque `vec (df_i)` en un point de l'espace lié au solide S et en faire la somme. On obtient alors le moment résultant du torseur d'effort de `bar S` sur `S`.

Si on calcul des moment au point `A_1` :

dans le cas 1 : `{T_(bar S->S)}_(A_1) = {( ,vec (df_1)+vec (df_2), ), (vec(A_1A_1)^^vec(df_1),+vec(A_1A_2)^^vec(df_2), ):}}_(A_1) = {(vec 0), (vec 0):}}_(A_1)`

puisque `vec(A_1A_1)=vec(A_1A_2)=vec 0`.

dans le cas 2 : `{T_(bar S->S)}_(A_1) = {( ,vec (df_1)+vec (df_2), ), (vec(A_1A_1)^^vec(df_1),+vec(A_1A_2)^^vec(df_2), ):}}_(A_1) = {(vec 0), (!=vec 0):}}_(A_1)`

puisque `vec(A_1A_2)!=vec 0`.

Généralisation

Si les actions mécaniques locales `vec (df_(sAi))` (surfaciques) et `vec (df_(vAi))` (volumiques) de `bar S` sur `S` sont réparties sur les points `A_i`, on peut définir les éléments de réduction du torseur d'action mécanique de `bar S` sur `S` de la façon suivante :

`{T_(bar S->S)}_(O) = {(vec R_(bar S->S),=intintint_v vec(df_(vAi)),+ intint_s vec(df_(sAi)), ), (vec(M_(O,bar S->S)),=intintint_v vec(OA_i)^^vec(df_(vAi)),+intint_s vec(OA_i)^^vec(df_(sAi) ), ):}} _(0)

Même si ce calcul intégral est rarement entrepris, il est important de comprendre ce que représente un torseur d'efforts.

On peut écrire ce torseur en faisant apparaitre ses composantes en projection dans un repère R :

`{T_(bar S->S)}_(O) = {(X_(0,bar S ->S),L_(0,bar S ->S)), (Y_(0,bar S ->S),M_(0,bar S ->S)),(Z_(0,bar S ->S),N_(0,bar S ->S)):}} _(0,R)

Champ de pesanteur, centre de gravité

Le champs de pesanteur est considéré comme un champs uniforme. Chaque élément de volume autour du point courant `Ai` subit une force élémentaire `vec (df_(vAi))= rho.vec g. dv`.

La résultante d'effort de ce champs de pesanteur sur le solide S s'écrit:

`vec R_(bar S->S)=intintint_v vec(df_(vAi))=intintint_v rho.vec g. dv`

Dans un champ de pesanteur uniforme : `vec R_(bar S->S)= [intintint_v rho.dv].vec g ou [intintint_v dm].vec g` avec `dm = rho.dv`.

Dans un solide homogène (`rho` = constante) : `vec R_(bar S->S)= [intintint_v dv].rho vec g = M vec g` avec `M=rho.V`.

Le centre de gravité du solide est le point pour lequel le moment résultant du champs de pesanteur est nul.


Position du centre de gravité du solide S

` M vec(OG) = intintint_v vec (OA_i)dm `

ou ` V vec(OG) = intintint_v vec (OA_i)dv ` pour un solide homogène (`rho` constant).

avec M la masse du solide et V son volume et `A_i` le centre de gravité de l'élément de volume.

Démonstration

Le moment résultant en un point O quelconque de ce champs de vecteur sur le solide S s'écrit :

`vec(M_(O,bar S->S))=intintint_v vec(OA_i)^^vec(df_(vAi))=intintint_v vec(OA_i)^^(rho.vec g. dv)`.

Si `vec g` est constant : `vec(M_(O,bar S->S))= [intintint_v vec(OA_i)dm]^^vec g`.

Si `rho` est constant : `vec(M_(O,bar S->S))= rho [intintint_v vec(OA_i)dv]^^vec g`.

Ce qui permet de constater que `vec(M_(O,bar S->S))` est perpendiculaire à `vec g`, donc à `vec R_(bar S->S)`.

L'automoment du torseur d'effort `vec R_(bar S->S).vec(M_(O,bar S->S))=0`. Il s'agit d'un glisseur. Il existe donc un point tel que `vec(M_(O,bar S->S))=vec 0`.

Ce point est le centre de gravité du solide S, noté G.

On a donc `vec(M_(G,bar S->S))= [intintint_v vec(GA_i)dm]^^vec g=vec 0`

`vec g != vec 0 => intintint_v vec(GA_i)dm = vec 0`

`=> intintint_v (vec(GO)+ vec (OA_i))dm = vec 0`

`=> intintint_v vec(OG)dm = intintint_v vec (OA_i)dm `

`=> M vec(OG) = intintint_v vec (OA_i)dm `

Centre de gravité d'un ensemble de solides

En considérant un ensemble de n solides de masses `m_i` dont on connait les centres de gravités `G_i`, on peut obtenir la relation suivante :

Position du centre de gravité d'un ensemble de solides

` (sum_n m_i) vec(OG) = sum_n (m_i vec (OG_i)) `

Torseur des actions mécaniques de pesanteur

Action volumique.PNG

En écrivant le torseur des actions mécaniques de pesanteur au centre de gravité du solide S :


Le champ uniforme des actions mécaniques de pesanteur sur un solide homogène

`{T_(pesanteur->S)}_(G) = {(vec R_(bar S->S),= M vec g, ), (vec(M_(O,bar S->S)),=vec 0, ):} } _(G)`

G étant le centre de gravité du solide S.

centre d'intérêt:Statique des solides