Liaisons composées

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Chaines ouvertes, fermées, complexes

Dans un mécanisme, les différents solides en mouvements sont liés par des liaisons. ils constituent une chaine cinématique que l'on peut classer en différentes catégories.

Chaines ouvertes

La structure du mécanisme est une succession de solides et de liaisons dont les solides extrêmes sont différents.

Structure de chaine ouverte

Exemple : Le robot ERICC a une structure de chaine ouverte.

Robot ericc.PNG

Chaines fermées

La structure du mécanisme est une succession de solides et de liaisons dont le solide initial est identique au solide final.

Structure de chaine fermée

Exemple : Le robot MAXPID a une structure de chaine fermée.

MAXPID.png

Chaines complexes

Structure de chaine complexes

La structure du mécanisme est un ensemble de solides et de liaisons comportant plusieures chaines ouvertes et/ou fermées.


Exemple : La plate forme STEWART a une structure de chaine fermée.

Plateforme Stewart.png

La plateforme est liée à la base par une série de 6 actionneurs linéaires. La structure est donc une structure en parallèle où plusieurs chaines fermées lient la pièce 1 et la pièce 2.

Liaisons en série

On dit que trois solides [math]S_1[/math], [math]S_2[/math] et [math]S_3[/math] sont en liaison série si [math]S_1[/math] est en liaison avec [math]S_2[/math] et que [math]S_2[/math] est en liaison avec [math]S_3[/math] mais qu'il n'y a pas de liaison entre [math]S_1[/math] et [math]S_3[/math]. C'est à dire que ces 2 solides forment une chaine ouverte.

Par composition de mouvement, on trouve le torseur cinématique de la liaison globale entre [math]S_1[/math] et [math]S_3[/math] :

[math]\lbrace V_{S_3/S_1}\rbrace _0 = \lbrace V_{S_3/S_2}\rbrace _0 + \lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _0[/math]


Exemple : Patin de serre-joint

Serre-joint.PNG

On s'intéresse à la chaine constituée des solides [math]S_0[/math] (pièce serrée dans le serre-joint), [math]S_1[/math] (patin) et [math]S_2[/math] (vis de serrage du serre-joint).

  • La liaison [math]S_0[/math]/[math]S_1[/math] est une liaison appui-plan de normale [math]\vec z[/math] passant par A.

[math]\lbrace V_{S_1/S_0}\rbrace _A = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & v_{i1/0} \\ 0 & v_{j1/0}\\ \omega_{n1/0} &0 \end{array} \right \rbrace _A[/math]

  • La liaison [math]S_1[/math]/[math]S_2[/math] est une liaison rotule de centre 0.

[math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _0 = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_{i2/1} & 0 \\ \omega_{j2/1} & 0\\ \omega_{j2/1} &0 \end{array} \right \rbrace _0[/math]

Le schéma cinématique de cette chaine est donc :

Serre-joint schema cinematique.PNG

Pour additionner les torseurs cinématiques des liaisons élémentaires, il faut qu'ils soient exprimés au même point (O par exemple). Pour exprimer [math]\lbrace V_{S_1/S_0} \rbrace [/math] au point O, on utilise la loi de distribution de vitesse :

[math] \vec {V_{O \in S_1/S_0}}=\vec {V_{A \in S_1/S_0}}+ \vec {\Omega_{S_1/S_0}} \wedge \vec {A0}[/math]

[math]\vec{A0}[/math] étant porté par [math]\vec n[/math] et [math]\vec {\Omega_{S_1/S_0}} = \omega_{n1/0}.\vec n[/math], on a [math]\vec {\Omega_{S_1/S_0}} \wedge \vec {A0}= \vec 0[/math].

Et donc [math]\overrightarrow {V_{O \in S_1/S_0}}=\overrightarrow {V_{A \in S_1/S_0}}[/math]

Le torseur transporté au point O s'écrit donc : [math]\lbrace V_{S_1/S_0}\rbrace _0 = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & v_{i1/0} \\ 0& v_{j1/0} \\ \omega_{n1/0} & 0 \end{array} \right \rbrace _0[/math]

On peut donc écrire la composition de vitesses en 0 entre [math]S_0[/math], [math]S_1[/math] et [math]S_2[/math] :

[math]\lbrace V_{S_2/S_0}\rbrace _0= \lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _0 + \lbrace V_{S_1/S_0}\rbrace _0[/math]

[math]\lbrace V_{S_2/S_0}\rbrace _0= \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & v_{i1/0} \\ 0 & v_{j1/0} \\ \omega_{n1/0} & 0)\end{array} \right \rbrace _0 + \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_{i2/1}& 0 \\ \omega_{j2/1}& 0 \\ \omega_{n2/1} & 0)\end{array} \right \rbrace_0 = \left \lbrace \begin{array}{cc} \omega_{i2/1}& v_{i1/0} \\ \omega_{i2/1}& v_{j1/0} \\ \omega_{n1/0}+ \omega_{n2/1} & 0 \end{array} \right \rbrace _0[/math]

Ce qui correspond à la forme du torseur cinématique d'une liaison ponctuelle de normale [math]\overrightarrow n[/math] en O.

Analyse technologique :

Même si cette liaison composée est équivalente à une liaison ponctuelle, un contact ponctuel réel entre la vis et la pièce à serrer endommagerait systématiquement la pièces serrer. l'interposition du patin permet de garder les mêmes mobilités tout en répartissant la pression du serre-joint sur la pièce sur une surface de contact plus importante.

Liaisons en parallèle

Les solides [math]S_1[/math] et [math]S_2[/math] sont en liaisons parallèles si il existe plusieurs liaisons entre [math]S_1[/math] et [math]S_2[/math].

On détermine le torseur cinématique de la liaison globale en faisant l'égalité des torseurs cinématiques des liaisons élémentaires ramenés au même point et en résolvant les six équations obtenues.

Exemple : Trombone à coulisse

Trombone à coulisse

La liaison entre la coulisse et l'instrument est constituée par deux liaisons pivot-glissant parallèles. On peut en faire la modélisation suivante :

Schema cinematique trombone.PNG

On a les deux liaisons pivot-glissant en A et B dont les torseurs cinématiques sont :

  • [math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _A = \left \lbrace \begin{array}{cc}0& 0 \\ \omega_{yA}& v_{yA} \\ 0& 0 \end{array} \right \rbrace _A[/math]
  • [math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _B = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0& 0 \\ \omega_{yB} & v_{yB} \\ 0& 0\end{array} \right \rbrace _B[/math]

On transporte [math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _B[/math] en A par la formule de Varignon (distribution de vitesses) :

[math]\vec {V_{A \in S_2/S_1}}=\vec {V_{B \in S_2/S_1}}+\vec {\Omega_{S_2/S_1}} \wedge \vec{BA}[/math]

[math]\vec {V_{A \in S_2/S_1}}=v_{yB}.\vec y + \omega_{yB}.\vec y \wedge (-AB \vec x)[/math]

[math]\vec {V_{A \in S_2/S_1}}=v_{yB}.\vec y + \omega_{yB}.AB \vec z[/math]

Le torseur de la liaison en B exprimé en A devient donc :

[math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _{B-\gt A} = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \omega_{yB} & v_{yB} \\ 0 & \omega_{yB}.AB \end{array} \right \rbrace _A[/math]

On pose l'égalité entre les deux torseurs cinématiques au point A :

[math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _{B-\gt A} = \lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _A[/math] [math]=\gt \left \lbrace \begin{array}{cc} 0& 0\\ \omega_{yA} & v_{yA} \\ 0& 0\end{array} \right \rbrace_A=\left \lbrace \begin{array}{cc} 0& 0 \\ \omega_{yB}& v_{yB} \\ 0& \omega_{yB}.AB\end{array} \right \rbrace_A[/math]

On obtient les équations suivantes :

  • [math]\omega_{yA}=\omega_{yB}[/math]
  • [math]v_{yA}=v_{yb}[/math]
  • [math]0=\omega_{yB}.AB[/math]

La dernière équation implique, comme AB n'est pas nul, que : [math]\omega_{yB}=0[/math] et que [math]\omega_{yA}=\omega_{yB}=0[/math].

Dans le torseur cinématique de la liaison globale, il reste donc :

[math]\lbrace V_{S_2/S_1}\rbrace _A = \left \lbrace \begin{array}{cc} 0& 0 \\ 0& v_{yA} \\ 0& 0\end{array} \right \rbrace _A[/math]

Ce qui correspond au torseur cinématique d'une liaison glissière d'axe [math]\vec y[/math].