Les trains épicycloïdaux

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Train epi.gif

Le train épicycloïdal est un système de transmission de puissance comprenant deux engrenages planétaires entre lesquels tournent plusieurs engrenages satellites. Ces trains sont souvent utilisés pour réduire une vitesse de rotation du fait des grands rapports de réduction que cette configuration autorise (à compacité égale avec un engrenage simple).

Il est composé de plusieurs engrenages :

  • Ceux qui coïncident avec un axe fixe dans l'espace sont des planétaires;
  • ceux dont l'axe tourne autour d'un autre sont des satellites;

Les satellites sont maintenus par un châssis mobile appelé porte-satellites.

Le train simple

Train epi schema.PNG

Le train simple est composé de :

  • un planétaire d'entrée 1;
  • un planétaire de sortie 3;
  • un ou plusieurs satellites;
  • un porte satellite 4 (ou PS).

Les trains épicycloïdaux ayant 3 arbres en mouvement dont on peut récupérer la rotation (les planétaires et le porte satellite), on ne peut établir une loi \frac {entrée}{sortie} de type [math] \frac {\omega_{s}}{\omega_{e}}[/math]. Il faut établir une relation liant les trois paramètres de vitesse, appelée la formule de Willis (voir plus bas).

Néanmoins, dans beaucoup de cas, le train épicycloïdal est utilisé en réducteur. C'est à dire qu'une des trois \pièces mobiles est bloquée. Ce qui réduit la formule de Willis à une loi \frac {entrée}{sortie} classique. On obtient alors les cas suivants :

Trains bloques.PNG

Autres types de trains épicycloïdaux

Les deux planétaires engrénant avec les satellites peuvent être situés autour (cas des planétaires extérieurs), ou au centre (cas des planétaires intérieurs). Il en résulte 4 configurations:

Satellite à simple denture, un planétaire intérieur et un extérieur.

Train epi type i.PNG

Satellite à double denture un planétaire intérieur et un extérieur.

Train epi type ii.PNG

Satellite à double denture et 2 planétaires extérieurs.

Train epi type iii.PNG

Satellite à double denture et 2 planétaires intérieurs.

Train epi type iv.PNG


Dans tous les cas, les planétaires et le porte satellites ont un axe de rotation en commmun.

Etude cinématique - Formule de Willis

On se place dans le cas général.

Train epi cinematique.PNG

On établi la relation de roulement sans glissement en A :

[math] \overrightarrow{V_{A \in 1/2}} = \overrightarrow{0}[/math] [math]=\gt \overrightarrow{V_{A \in 1/4}} + \overrightarrow{V_{A \in 4/2}}= \overrightarrow{0}[/math] (composition de vitesses)

[math]=\gt \overrightarrow{V_{O_{1} \in 1/4}} + \overrightarrow{O_{1A}} \wedge \overrightarrow{\Omega_{1/4}}+ \overrightarrow{V_{O_2 \in 4/2}} + \overrightarrow{O_{2A}} \wedge \overrightarrow{\Omega_{4/2}}= \overrightarrow{0}[/math] (distribution de vitesse)

On pose [math]R_{1}[/math] et [math]R_{2}[/math] les rayon primitifs du planétaire 1 et du satellite 2.

On pose [math]l_{1}[/math] et [math]l_{2}[/math] les projections en [math] \overrightarrow{x}[/math] de [math] \overrightarrow{O_{1A}}[/math] et de [math] \overrightarrow{O_{2A}}[/math].

[math]=\gt \overrightarrow{0} + (R_{1} \overrightarrow{z}+l_{1} \overrightarrow{x}) \wedge \omega_{1/4}. \overrightarrow{x} + \overrightarrow{0} + (-R_{2} \overrightarrow{z}+l_{2} \overrightarrow{x}) \wedge \omega_{4/2}. \overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}[/math]

[math]=\gt -R_{1} \omega_{1/4}. \overrightarrow{y} +R_{2} \omega_{4/2}. \overrightarrow{y} = \overrightarrow{0}[/math]

[math]=\gt R_{1} \omega_{1/4} -R_{2} \omega_{4/2}= 0[/math]

ou [math]Z_{1} \omega_{1/4} -Z_{2} \omega_{4/2}= 0[/math] (1) (avec [math] \frac {R}{2} = m.Z[/math])

On établi la relation de roulement sans glissement en B :

[math] \overrightarrow{V_{B \in 2/3}} = \overrightarrow{0}[/math] [math]=\gt \overrightarrow{V_{B \in 2/4}} + \overrightarrow{V_{B \in 4/3}}= \overrightarrow{0}[/math] (composition de vitesses)

[math]=\gt \overrightarrow{V_{O_2 \in 2/4}} + \overrightarrow{O_{2B}} \wedge \overrightarrow{\Omega_{2/4}}+ \overrightarrow{V_{O_{3} \in 4/3}} + \overrightarrow{O_{3B}} \wedge \overrightarrow{\Omega_{4/3}}= \overrightarrow{0}[/math] (distribution de vitesse)

On pose [math]R_{2'}[/math] et [math]R_{3}[/math] les rayon primitifs du satellite 2' et du planétaire 3.

On pose [math]l_{2'}[/math] et [math]l_{3}[/math] les projections en [math] \overrightarrow{x}[/math] de [math] \overrightarrow{O_{2B}}[/math] et de [math] \overrightarrow{O_{3B}}[/math].

[math]=\gt \overrightarrow{0} + (R_{2'} \overrightarrow{z}+l_{2'} \overrightarrow{x}) \wedge \omega_{2/4}. \overrightarrow{x} + \overrightarrow{0} + (R_{3} \overrightarrow{z}+l_{3} \overrightarrow{x}) \wedge \omega_{4/3}. \overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}[/math]

[math]=\gt -R_{2'} \omega_{2/4}. \overrightarrow{y} -R_{3} \omega_{4/3}. \overrightarrow{y} = \overrightarrow{0}[/math]

[math]=\gt R_{2'} \omega_{2/4} +R_{2} \omega_{4/3}= 0[/math]

ou [math]Z_{2'} \omega_{2/4} +Z_{3} \omega_{4/3}= 0[/math] (2) (avec [math] \frac {R}{2} = m.Z[/math])

En utilisant les relations (1) et (2) :

[math]Z_{1} \omega_{1/4} -Z_{2} \omega_{4/2}= 0[/math] et [math]Z_{2'} \omega_{2/4} +Z_{3} \omega_{4/3}= 0[/math]

[math]\omega_{4/2}= \frac {Z_{1}}{Z_{2}} \omega_{1/4}= \frac {Z_{3}}{Z_{2'}} \omega_{4/3}[/math]

[math]=\gt \frac {\omega_{1/4}}{\omega_{3/4}}=- \frac {Z_{2}.Z_{3}}{Z_{2'}.Z_{1}}[/math]

Et en décomposant les vitesse de rotation par rapport au bati :


[math] \frac {\omega_{1/0}-\omega_{4/0}}{\omega_{3/0}-\omega_{4/0}}=- \frac {Z_{2}.Z_{3}}{Z_{2'}.Z_{1}}[/math]


En généralisant à tous les types de trains (ce qui implique la prise en compte du nombre [math]n[/math] de contacts extérieurs) :

Formule de Willis

[math] \frac {\omega_{1/0}-\omega_{4/0}}{\omega_{3/0}-\omega_{4/0}}=(-1)^{n} \frac {Z_{2}.Z_{3}}{Z_{2'}.Z_{1}} = \lambda[/math]

où :

  • [math]\omega_{1/0}[/math] et [math]\omega_{3/0}[/math] sont les vitesses de rotations des planétaires;
  • [math]\omega_{4/0}[/math] est la vitesse de rotation du porte-satellite.
  • [math]\lambda[/math] est la 'raison' du train épicycloïdal. C'est aussi le rapport de réduction du train d'engrenage simple qu'on obtient si on fixe le porte-satellite.
  • [math]Z_{1}[/math] et [math]Z_{3}[/math] sont les nombres de dents des planétaires
  • [math]Z_{2}[/math] et [math]Z_{2'}[/math] sont les nombres de dents des deux roues du satellite. Si le satellite est simple (une seule roue), [math]Z_{2}=Z_{2'}[/math]


On utilise également la relation de Willis sous la forme :

[math]\omega_{1/0}-\lambda \omega_{3/0} + (\lambda-1) \omega_{4/0} = 0[/math]

Remarque :

Tous les axes de rotations étant fixes dans le repère du porte-satellite, on peut considérer le train épicycloïdal comme un train d'engrenage classique en prenant comme référence le porte-satellite. En appliquant la relation correspondante :

[math]\frac {\omega_{1/4}}{\omega_{3/4}}=(-1)^{n}. \frac {Z_{2}.Z_{3}}{Z_{2'}.Z_{1}}=- \frac {Z_{2}.Z_{3}}{Z_{2'}.Z_{1}}[/math]

Liens externes - animations

(Merci à Bruno Causse (Lycée Gustave Eiffel d'Armentières)