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Fonction de transfert - Schéma bloc

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Sommaire

Représentation d'un système asservi

Exemple: la chasse d'eau

On a déjà vu que l'on peut schématiser sommairement un système par une relation entrée / sortie": Lorsque le système réel est plus complexe, la représentation doit être plus détaillée. On utilise un "schéma-bloc" dont chaque élément est un modèle de comportement d'une partie élémentaire du système.

Schema chasse d eau.PNG
h_0
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
Mécanisme de réglage
theta_0 theta_0-theta(t)
Carré blanc.PNG
Vanne
q_v q_v-q_c 
q_(v)-q_(f)-q_(c) 
Carré blanc.PNG
Intégrateur
V(t)
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
Forme du réservoir
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
Fuite
q_f  Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
Chasse
q_c Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
Flotteur
theta(t) Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
h(t)
Fleche droite3.PNG



Remarques

Si à l'instant "t" on suspend l'écoulement du temps ( on fait une "photo" du système ), la grandeur caractéristique qui décrit l'état du système est le volume d'eau V(t) ( ou la hauteur h(t) car V(t)=S . h(t)). C'est une variable d'état du système. Par nature, elle est continue au sens mathématique du terme. C'est à dire qu'elle ne peut pas changer de valeur instantanément: Une discontinuité à l'instant "t" dans l'évolution du volume suppose un débit infini.

Le système est régulé par la présence d'une boucle de retour qui prend en compte la valeur de la grandeur d'état associée à la sortie.

FONCTION DE TRANSFERT

amath

Considérons un système régit par l'équation différentielle du second ordre suivante :

`a_2.e’’(t)+a_1.e’(t)+a_0.e(t) = b_2.s’’(t)+b_1.s’(t)+b_0.s(t)`


Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles (on peut toujours s'y ramener) et si on utilise le théorème de la dérivation (première et seconde), on obtient : ` `a_2.p^2.E(p)+a_1.p.E(p)+a_0.E(p) = b_2.p^2.S(p)+b_1.p.S(p)+b_0.S(p)

soit `E(p).(a_2.p^2+a_1.p+a_0) = S(p).(b_2.p^2+b_1.p+b_0)`

On pose:

Fonction de transfert d'un système

`H(p) = (S(p))/(E(p)) = (a_2.p^2+a_1.p+a_0)/(b_2.p^2+b_1.p+b_0) `

H(p) est la “fonction de transfert” du système.

Sous cette forme, `H(p)` est une fraction rationnelle en `p`. Si on nomme `z1, z2, p1, p2, les racines (complexes) des polynômes du numérateur N(p) et du dénominateur D(p), la fonction de transfert s'écrit:

`H(p) = (a_2(p-z_1)(p-z_2))/ (b_2(p-p_1)(p-p_2))`

Les z_1 sont les zéros de la fonction de transfert. Les p_1 sont les pôles de la fonction de transfert.


La fonction de transfert caractérise entièrement le système. Elle permet en particulier de calculer la sortie pour une entrée donnée: S(p) = E(p) . H(p)

Dans la pratique, on peut en déduire que la connaissance de la réponse à une impulsion permet de caractériser le système, c'est à dire connaître sa fonction de transfert, et donc suffit pour définir son comportement , quelle que soit l'entrée e(t).

Mode d'emploi: On applique a un système un signal d'entrée échelon. On observe l'évolution de la sortie s(t). On calcule S(p), ce qui permet donc également de déterminer la fonction de transfert, et est beaucoup plus facile à mettre en oeuvre.

Schémas blocs

C'est la représentation dans le domaine symbolique des systèmes élémentaires par leur fonction de transfert. On peut le construire directement en utilisant directement la modélisation des systèmes élémentaires par leur fonction de transfert. On assemble alors des blocs élémentaires en respectant les règles d'association:

( A un "opérateur" ne correspond aucun élément matériel du système.)

Schema bloc 1.PNG

Mise en forme de la fonction de transfert d'un système

Comment évolue l'abscisse x(t) du centre de gravité G de la masse M ?

Schema masse ressort amortisseur.PNG

On cherche la fonction de transfert H(p) telle que : X(p) = F(p).H(p)

F(p)
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
H(p)
X(p)
Fleche droite3.PNG

On construit les blocs à partir des processeurs du système et on les assemble avec, éventuellement, des sommateurs et des intégrateurs purs.

Schema bloc masse ressort.PNG

En écrivant que F1(p) = k/p.V(p) et F2(p) = lambda.V(p)

Puis F1(p) + F2(p) = (k/p + lambda).V(p),

On peut retracer le schéma-bloc de la façon suivante :

Schema bloc masse ressort2.PNG

Réduction à un bloc unique

Grâce à l'algèbre des schémas-bloc, on peut réduire le schéma-bloc à un bloc unique dont la transmitance est la fonction de Transfert du système.

Le schéma-bloc précédent se réduit à :


F(p)
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
`p/(Mp²+lambda p + k)`  
V(p) 
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
1/p
X(p)
Fleche droite3.PNG
(réduction de la boucle)

Puis à :


F(p)
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
`1/(Mp²+lambda p + k)`  
X(p)
Fleche droite3.PNG
(produit de transmitances)

La fonction de transfert du système est donc :


`H(p)=(X(p))/(F(p))=1/(Mp²+lambda p + k)`



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