Fiche d'exercices cinématique

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Joint de Cardan[modifier]

Principe de fonctionnement du cardan

Le cardan (ou plus précisément le joint de Cardan) est un dispositif mécanique qui permet la transmission d'une rotation angulaire entre deux arbres dont les axes géométriques concourent en un même point.

Cette technique est utilisée sur les véhicules pour accoupler deux arbres tournants non alignés, ou dont les positions angulaires de l'un par rapport à l'autre peuvent varier ; par exemple l'axe du volant et le boîtier de direction, surtout dans le cas d'un volant réglable en hauteur par rapport au conducteur.

Vue éclatée[modifier]

Eclate joint de cardan.png

Schéma cinématique - paramétrage[modifier]

Schema cinematique parametrage joint de cardan.PNG

Les pièces repérées 1 et 2 sont les fourchettes. Les deux axes de rotation des deux fourchettes sont concourants en O.

L'angle `alpha` entre l'arbre d'entrée 1 et l'arbre de sortie 2 est considéré comme constant dans cette étude.

  • `R_0(O,vec x_0,vec y_0,vec z_0)` et `R'_0(O,vec (x')_0,vec (y')_0,vec (z')_0)` sont liés au bati 0 tel que `alpha = (vec x_0,vec (x')_0) = (vec y_0,vec (y')_0)`.
  • `R_1(O,vec x_1,vec y_1,vec z_1)` est lié à la fourchette 1 tel que `theta_(01) = (vec x_0,vec x_1)= (vec z_0,vec z_1)`.
  • `R_2(O,vec x_2,vec y_2,vec z_2)` est lié à la fourchette 2 tel que `theta_(02) = (vec x'_0,vec x_2)= (vec z'_0,vec z_2)`.
  • `R_3(O,vec x_3,vec y_3,vec z_3)` est lié au croisillon 3 tel que `vec x_2=vec x_3` et `vec z_1=vec z_3` .

Travail demandé[modifier]

  1. Représenter les changements de bases relatifs aux angles `alpha`,`theta_(01)` et `theta_(02)`.
  2. Quels sont les paramètres d'entrée et de sortie du système.
  3. A partir de la particularité géométrique du croisillon (perpendicularité), établir la loi entrée/sortie du mécanisme.
  4. Par dérivation, établir la loi entrée/sortie en vitesse. Le joint de cardan est-il homocinétique?

Joint de Hooke[modifier]

Mise en situation[modifier]

Joint de Hooke. Vue 3D

L'étude porte sur la détermination de la loi entrée sortie en position du joint de Hooke. Le modèle 3D montre la maquette numérique partielle du joint. Il permet de transformer une rotation continue (de la pièce verte) en une rotation alternative (de la pièce bleue).

Paramétrage[modifier]

`vec(OA)=a.vec(x_1)`, `vec(OB)=r.vec(z_2)=a.tan alpha. vec(z_2)`, `vec(OC)=b.vec(x_1)`, `vec(AD)=c.vec(y_4)`, `vec(AE)=d.vec(z_1)`.

Le mouvement d'entrée est la rotation d'angle `theta_1:(vec(z_1),vec(z_2))` de la liaison au point C.

Le mouvement de sortie est la rotation d'angle `theta_2:(vec(y_1),vec(y_4))` de la liaison au point E.

L'angle `alpha:(vec(x_1),vec(x_3))` est constant.

Les segments AD et AB restent constamment perpendiculaires.

Joint de Hooke parametrage.PNG

Travail demandé[modifier]

Exprimez la loi d'entrée sortie sous sa forme la plus simple (le moins de paramètres possibles).

Représentez la courbe de la loi "entrée sortie" avec les paramètres suivants : a = 150 mm, b = c = 50 mm, d = 70 mm ,`alpha` = 30°.


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Boy de volet[modifier]

Présentation[modifier]

Le boy de volet est un mécanisme grand public. Il permet de manœuvrer des volets à battants de l'intérieur de la pièce sans ouvrir la fenêtre en utilisant une manivelle située à l’intérieure du local d’habitation.

Fonctionnement du mécanisme[modifier]

Boy de volet position ferme.PNG Boy de volet position intermediaire.PNG Boy de volet position ouvert.PNG

Cinématique du mécanisme. Position fermée - intermédiaire - ouvert.


Le volet (10) est en liaison pivot d’axe `vec(z_0)` avec le mur. La manivelle (34), l’axe de transmission (21) et la vis sans fin (22) sont en liaison pivot d’axe `vec(y_0)` par rapport au palier (24 et 25) fixé dans le mur. La roue dentée (31) solidaire de la bielle (14) est en liaison pivot d’axe `vec(z_0)` par rapport au palier (24 et 25). Le galet cylindrique, en liaison pivot d’axe `vec(z_0)` à l’extrémité de la bielle, roule dans la glissière (29) fixée dans le volet. Remarque : La liaison galet glissière est bilatérale (Ouverture et fermeture), mais du point de vue cinématique, on la considère comme unilatérale.

Etude cinématique[modifier]

Boy de volet galet.PNG

La liaison bielle/glissière est une liaison composée (de plusieurs liaisons simples) avec pour solide intermédiaire le galet.

Q.1) Donner les mobilités de chacune de ces liaisons dans le repère R2 et en déduire les mobilités de la liaison globale entre la bielle et la glissière (une mobilité dans la liaison globale existe si elle est permise par au moins une des deux liaisons simples).

Q.2) En considérant que la géométrie du système possède une symétrie dans le plan `(vec(x_0),vec(y_0))`, seules les mobilités en translation dans ce plan et la mobilité en rotation suivant un axe normal à ce plan sont retenues pour toutes les liaisons. Comment peut-on alors simplifier le tableau de mobilité obtenu à la question précédente? A quelle liaison correspond-t-il ?

Loi entrée/sortie[modifier]

Le schéma cinématique et le paramétrage retenu pour le système sont les suivants :

Boy de volet schema cinematique.PNG

`vec(OA)=X_A.vec(x_0)+Y_A.vec(y_0)`

`vec(AB)=X_B.vec(x_1)`

`OB=lambda`, `alpha=(vec(x_0),vec(x_1))`, `beta=(vec(x_0),vec(x_2))`

Q 2.1) Établir la fermeture géométrique du système pour la chaîne composée des pièces 0, 1 et 2.

Q 2.2) Exprimer `beta` en fonction de `alpha`.

Q 2.3) Dans la liaison roue et vis sans fin, le rapport de réduction est de `r=(Z_(vis))/(Z_(roue))` (`Z_(vis)` est le nombre de filets de la vis `Z_(roue)` est le nombre de dents de la roue). Donner la relation entre `beta` et `theta`, l’angle de rotation de l’arbre de manœuvre (3).

Q 2.4) Application numérique. `X_A`=63 mm ; `Y_A`=55 mm; `X_B`=272 mm ; `Z_(vis)` = 1 ; `Z_(roue)` = 20. Que vaut l’angle `alpha` lorsque le volet est fermé ?

Q 2.5) Combien de tours de manivelle nécessite l’ouverture complète du volet (180°).

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Régulateur de Watt[modifier]

Regulateur de Watt gravure.png

Ce régulateur était utilisé comme capteur de vitesse dans une boucle d'asservissement à l'époque de la machine à vapeur.

L'axe (1) est entraîné en rotation par un dispositif non représenté à l'arbre moteur d'un élément de machine. L'axe (1) entraîne dans sa rotation autour de l'axe vertical les deux bras (2) et (2') qui prennent une position d'équilibre sous l'action conjuguée de leur poids et de la force centrifuge. L'inclinaison des bras (2) et (2') modifie la position de la pièce (4) suivant l'axe `(O,vec z)`.

La position de la pièce n°4 sur l'axe (1) est utilisée en grandeur de sortie du capteur.

Paramétrage[modifier]

Repère `R(vec x,vec y,vec z)` lié au bâti 0;

Repère `R_1(vec x_1,vec y_1,vec z_1)` lié au solide 1;

Repère `R_2(vec x_2,vec y_2,vec z_2)` lié au solide 2;

Repère `R_3(vec x_3,vec y_3,vec z_3)` lié au solide 3;

`vec(OA)=r.vec (y_1)`

`vec(BA)=a.vec (z_2)`

`vec(CB)=a.vec (y_3)`

`vec(DC)=r.vec (y_1)`

`vec(G_2A)=2.a.vec (z_2)`

Regulateur de Watt parametrage.PNG

Travail demandé[modifier]

  1. Identifiez et précisez le ou les mouvements d'entrée(s) et le ou les mouvements de sortie(s) du mécanisme.
  2. Déterminez la relation `phi=f(psi)`
  3. Déterminez la relation `z_D=OD=f(Theta, psi, a, r)` .
  4. Exprimez le vecteur rotation `Omega_(R_3//R)` .
  5. Calculez les expressions de `vec(V_(G_2//R))` et `vec(V_(D//R))`
  6. Calculez l'expression de `vec(Gamma_(G_2//R))` pour `dot(Theta)` constant.
  7. Application numérique.

La vitesse angulaire du repère `R_1` par rapport à `R` est constante et égale à 2000 tours par minutes. La vitesse angulaire du repère `R_2` par rapport à `R_1` est nulle.

`r` = 30 mm, `a` = 100 mm, `phi = pi/3`

Calculez `||vec(V_(G_2//R))||` et `||vec(Gamma_(G_2//R))||` .

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Suspension de moto[modifier]

Présentation[modifier]

amath

Suspension de moto.PNG

La roue arrière 1 est articulée en A sur le bras 2, lui-même articulé en B dur le cadre 0 de la moto. Le mouvement du bras est transmis en C à la biellette 3, puis en D au renvoi 4 articulé en E avec le cadre. Les liaisons en A, B, C, D, E, F et G sont des liaisons pivot d'axe `vec y`.

L'amortissement est effectué en F par l'amortisseur 5a et 5b articulé en G sur le cadre.

Suspension de moto amortisseur.PNG

Il est modélisé par une liaison pivot glissant d'axe `vec (FG)`.

On considère que l'étude admet une simplification dans le plan `(vec x, vec z)`.

Étude en cinématique graphique[modifier]

On considère que la moto est à l'arrêt et, donc, que la roue de tourne pas par rapport au cadre. On donne un mouvement vertical au châssis.


Question[modifier]

Tracer sur la figure de construction les supports de `vec V_(A in 2//0)`, `vec V_(C in 2//0)` et `vec V_(D in 4//0)`

Question[modifier]

On suppose que `||vec V_(A in 2//0)||=1 m//s`.

Tracer cette vitesse dans le cas d'une compression de l'amortisseur.

Échelle de représentation des vitesses : 1 m//s = 50 mm.

Question[modifier]

A partir de `vec V_(A in 2//0)`, tracer `vec V_(C in 2//0)`, `vec V_(D in 4//0)` et `vec V_(F in 5_a//0)`.

Question[modifier]

En écrivant une relation de composition de vitesse au point F, déterminer graphiquement `vec V_(F in 5_a//5_b)` et `vec V_(F in 5_b//0)`

Figure de tracé[modifier]

Schema cinematique suspension moto.PNG


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centre d'intérêt:cinématique du solide