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Exercices automatique

Version du 15 novembre 2011 à 20:17 par Gdumont (discuter | contributions)
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Sommaire

Antenne satellite

Etude de la commande de position angulaire pour une antenne satellite motorisée. amath L'orientation de l'antenne vers le satellite géostationnaire est obtenue grâce à un moto-réducteur, commandé par un bouton lié à un potentiomètre.

Schema antenne satellite.PNG

Ce potentiomètre délivre une tension`U_e` proportionnelle à la position angulaire du bouton: `U_e = k_0 .theta_e` Avec `U_e = +- 10V` pour `theta_e = +- 180°`

Un capteur de position angulaire mesure `theta_m` et fournit une tension `U_s`. La tension `U_e` est comparée à la tension `U_s` délivrée par un capteur de position situé sur l'axe du moteur.

`e = U_s-U_e` commande un pré actionneur, qui commande le moteur, qui provoque la rotation de l'antenne autour d'un axe vertical jusqu'à la position `theta_s` désirée.

Etude et modélisation globale du système

Le système peut être représenté par le schéma-bloc suivant:

Schema bloc antenne satellite.PNG

Dans ce schéma, on trouve successivement les éléments suivants:

Bloc Valeur Unité Dénomination
`k_0` `10/pi` V/rad Potentiomètre
`k_1` ? Correcteur
10 10 Amplificateur
`10/(1+0,25p)` (rad/s)/V Moteur électrique
0.04 0.04 V/(rad/s) Génératrice tachymétrique
`1/p` Terme intégrateur
`k_2` ? V/rad Capteur de position
`1/R` `1/50` Réducteur à roue et vis


Calculer `T_1 = Omega_m / U_1` qui est la fonction de transfert de la commande en vitesse

Calculer la fonction de transfert de la commande de position: `T_2 = theta_s / theta_e`

Calcul du gain "k2" de la boucle de retour en position

On veut remplacer le capteur de position qui mesure `theta_m` par un capteur de position qui mesure `theta_s`. On va donc déplacer le point de jonction du retour en position en aval du bloc 1/R qui représente la fonction de transfert du réducteur.

1.Quel bloc faut-il insérer dans la boucle de retour pour conserver le même signal à l'entrée du comparateur ?

En étudiant de la même manière la valeur des signaux entrant et sortant du comparateur, déplacer le point de jonction du comparateur en amont du bloc `k_0`.

2.Représenter le schéma-bloc avec les modifications précédentes

On constate que le schéma-bloc peut maintenant être réduit à ce schéma simplifié:

Schema bloc2 antenne satellite.PNG

3.Calculer `k'_2` en fonction de `k_2`, `R`, et `k_0` en identifiant les deux schémas-bloc.

On suppose qu'au bout d'un certain temps (t ), la position angulaire de l'antenne est identique à la consigne.

4. En remarquant que `delta = theta_e - k'_2 . theta_s` en déduire la valeur de `k'_2` puis celle de `k_2`.

Étude de la réponse temporelle du système à une entrée échelon

On suppose que l'on a pu mettre la fonction de transfert `(theta_s(p)) / (theta_e(p))` sous la forme:

`(theta_s(p))/(theta_e(p))=96/(p^2+20.p+96)`


  1. Donner l'expression de `theta_s(p)` pour `theta_e(t) = pi/2 . u(t)`. (u(t) est la fonction échelon).
  2. Décomposer `theta_s(p)` en une somme d'éléments simples.
  3. Revenir du domaine de Laplace à l'expression de `theta_s(t)` dans le domaine temporel.
  4. Tracer `theta_s(t)` et calculer la valeur 't_1' pour laquelle la rotation de l'antenne vaut 95% de la valeur finale.


Enceinte chauffée

Mise en situation

Le système représenté ci-contre est chargé de maintenir la température d’une enceinte au moyen d'un circuit primaire et d'un circuit secondaire Le chauffage est assuré par un échangeur thermique entre les deux circuits. Une vanne permet de réguler le débit du fluide calorifique du circuit primaire dans l’échangeur. Le débit dans le circuit secondaire est assuré par une pompe.

Enceinte chaufee.png

Paramétrage :

Le système est régit par les équations suivantes :

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles.

L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne `alpha(t)` et la sortie la température de l’enceinte `theta(t)`.

Question 1 : Traduire dans le domaine de Laplace les équations de fonctionnement. En déduire les différentes fonctions de transfert.

Question 2 : Représenter le système par un schéma bloc faisant intervenir 3 blocs.

Question 3 : Déterminer la fonction de transfert globale de ce système `H_0(p)`.

Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne et d'installer un capteur dans l’enceinte de transmittance égale à 0,02 V/°C qui permet de mesurer la température `theta( t )` et de la traduire en une tension `u_(mes) ( t )`. Un transducteur de transmittance `K_t` convertit la consigne de température `theta_c (t)` en une tension de consigne `u_c ( t )`. Cette tension est comparée à `u_(mes) ( t )` pour élaborer l'écart. Celui-ci est amplifié par un correcteur de gain pur `K_c` puis est injecté comme tension `U_m` dans un moteur électrique dont la fonction de transfert est `H_m(p)=(A(p))/(U_m(p))=(K_m)/(p(1+tau_m.p))` (simplification de la fonction de transfert d'un moteur par négligence de l'inductance et du frottement). Le moteur éléctrique agit directement sur la vanne.

Question 4 : Représenter le schéma-bloc du système régulé, `theta_c` étant l'entrée du système, `theta` la sortie.

Question 5 : Quelle doit être la transmittance `K_t` du transducteur pour que le système soit en équilibre lorsque la sortie correspond à l'entrée.

Question 6 : Calculer la fonction de transfert du système.

Question 7 : On demande au système une température de `theta_0` (`theta_c (t)=theta_0.u(t)`). Quelle est la valeur finale de `theta` obtenue? Conclure.

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Système masse ressort amortisseur

On considère une masse m dont on étudie la variation de la position `x(t)` autour de la position d’équilibre lorsqu’on lui applique un effort noté `e(t)`. Cette masse est liée à un bâti par deux éléments en parallèle : un ressort de raideur `k` et un amortisseur visqueux de coefficient `lambda`.

Masse-ressort-amortisseur.png

Question 1

Établir la fonction de transfert du système `H(p)=(X(p))/(E(p))`

Question 2

Mettre `H(p)` sous forme canonique et déterminer les caractéristiques : `G`, `z` et `omega_n`

Question 3

Donner la valeur minimum de `lambda` en fonction de `k` et `m` pour que le système soit de type apériodique.

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Magic Arms

Le « magic arms » est un manège fabriqué par la société WAAGNER-BIRO. Ses mouvements simultanés autour de trois axes, désorientent les 39 passagers embarqués qui ne savent plus reconnaître le dessus du dessous pendant quelques minutes.

Magic arms.PNG

L'entraînement en rotation des différents bras du manège est réalisé par des moteurs asynchrones avec leur réducteur.

Quatre pour le bras 1, deux pour le bras 2 et un pour la nacelle. Cette technologie présente l'avantage d'être robuste et fiable dans le temps. Ces moteurs sont capables de développer un couple constant sur une large plage de vitesses de rotation grâce à un contrôle des courants et du flux dans la machine, appelé couramment commande vectorielle de flux.

Ce réglage est possible par l'emploi d'un onduleur. C'est un convertisseur de puissance travaillant en modulation de largeur d'impulsion (MLI) à partir d'une fréquence pilote de 10 kHz. Le capteur de position angulaire est un résolver intégré au moteur électrique. Il délivre 2 signaux, respectivement proportionnels au sinus et au cosinus de l'angle du rotor du moteur θm. Un "démodulateur convertisseur" élabore un signal digital sur 16 bits représentant la position de l'angle moteur par rapport à une référence absolue.

Pour chaque ensemble, un régulateur de vitesse élabore un signal de référence `C_(m)ref` (ou consigne de couple).

A partir de la position du rotor et des courants statoriques, le moteur, par l'intermédiaire de sa commande vectorielle de flux, fournit un couple `C_m`. Le modèle de représentation de cet ensemble, considéré dans le sujet comme linéaire, aura comme fonction de transfert :

`(C_m(p))/(C_(mref)(p))=1/(1+tau.p)`

Question 1 Donner l'expression de la réponse temporelle du couple moteur Cm(t) lors d'une sollicitation en échelon d'amplitude `C_mref0`.

Esquisser graphiquement la réponse et préciser toutes les caractéristiques de celle-ci.


Dans la suite du sujet, l'étude sera réalisée dans l'intervalle de temps [0, 9] secondes. Les calculs seront faits à partir des hypothèses simplificatrices suivantes :

La figure ci-dessous présente l'asservissement en position de l’un des 4 moto réducteurs du bras 1.

Magic arms schema bloc.PNG

On donne : `C_m(t)= J_t.(d^2 theta_m(t))/(dt^2)` ou `J_t` est l’inertie des pièces en mouvement ramenée sur l’arbre moteur.

Question 2 Compléter les différents blocs.

Question 3 Etablir la fonction de transfert : `H_(pos)(p) = (Theta_m(p))/(Theta_(mref)(p))=((1+tau_1.p).omega_n^2)/(p^2+2z.omega_n.p+omega_n^2)`

Expliciter ses paramètres caractéristiques.

Question 4 Sachant que la consigne de position `theta_(mref)` est élaborée par intégration de la consigne de vitesse `omega_(mref)`, en déduire la fonction de transfert `H_(vit)(p)=(Omega_m(p))/(Omega_(mref)(p))`

Identification

On enregistre la réponse s(t) à un échelon e(t) d’un système dont on ne connaît pas la fonction de transfert.

Exercice identification.PNG

  1. Déterminer l'ordre minimum du système et justifier.
  2. A partir de la forme canonique appropriée, déterminer la valeur numérique des paramètres suivants: gain, facteur d'amortissement et pulsation propre.
  3. Déterminer le temps de réponse à 5% Tr et calculer le temps de réponse réduit `tr = Tr.omega`
  4. Tracer sur l’abaque ci-dessous les construction qui permettent de vérifier la valeur de z trouvée à la question 2.

Tr5%.PNG

Diagramme de Bode 1er ordre

Soit un système dont la fonction de transfert est : `H(p)=10/(1+3.P)`.

en prenant les valeurs de suivantes : `10^(-2) , 10^(-1), 0.2, 0.5, 1, 10, 10^2, 10^3`

Grille semi-log.PNG

Diagramme de Black-Nickols

Soit un système dont la fonction de transfert est `H(p)=(0,475)/(1+0,014.p+4,05.10^(-5).p^2)`

1) Exprimer le module et l'argument de la fonction `H(j.omega)`.

2) Donner la valeur de `omega_n` de cette fonction de transfert.

3) Tracer le diagramme de Bode en faisant figurer les asymptotes.

4) Tracer le diagramme de Black (sur l'abaque de Black-nichols) et conclure quand à la stabilité du système en boucle fermée.


Grille semi-log.PNG

Abaque de Black-nichols.PNG


Les corrigés de ces exercices sont disponibles sur wikimeca.org



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