Exercice traité - Magic Arms

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amath Le « magic arms » est un manège fabriqué par la société WAAGNER-BIRO. Ses mouvements simultanés autour de trois axes, désorientent les 39 passagers embarqués qui ne savent plus reconnaître le dessus du dessous pendant quelques minutes.

Magic arms.PNG

L'entraînement en rotation des différents bras du manège est réalisé par des moteurs asynchrones avec leur réducteur.

Quatre pour le bras 1, deux pour le bras 2 et un pour la nacelle. Cette technologie présente l'avantage d'être robuste et fiable dans le temps. Ces moteurs sont capables de développer un couple constant sur une large plage de vitesses de rotation grâce à un contrôle des courants et du flux dans la machine, appelé couramment commande vectorielle de flux.

Ce réglage est possible par l'emploi d'un onduleur. C'est un convertisseur de puissance travaillant en modulation de largeur d'impulsion (MLI) à partir d'une fréquence pilote de 10 kHz. Le capteur de position angulaire est un résolver intégré au moteur électrique. Il délivre 2 signaux, respectivement proportionnels au sinus et au cosinus de l'angle du rotor du moteur θm. Un "démodulateur convertisseur" élabore un signal digital sur 16 bits représentant la position de l'angle moteur par rapport à une référence absolue.

Pour chaque ensemble, un régulateur de vitesse élabore un signal de référence `C_(m)ref` (ou consigne de couple).

A partir de la position du rotor et des courants statoriques, le moteur, par l'intermédiaire de sa commande vectorielle de flux, fournit un couple `C_m`. Le modèle de représentation de cet ensemble, considéré dans le sujet comme linéaire, aura comme fonction de transfert :

`(C_m(p))/(C_(mref)(p))=1/(1+tau.p)`

Question 1

Donner l'expression de la réponse temporelle du couple moteur Cm(t) lors d'une sollicitation en échelon d'amplitude `C_mref0`.

Esquisser graphiquement la réponse et préciser toutes les caractéristiques de celle-ci.


Dans la suite du sujet, l'étude sera réalisée dans l'intervalle de temps [0, 9] secondes. Les calculs seront faits à partir des hypothèses simplificatrices suivantes :

  • L’ensemble du processus est un système linéaire ;
  • Les éléments mécaniques sont supposés indéformables, sans jeu et sans frottement ;
  • Les éléments électroniques de régulation et de puissance ont des caractéristiques linéaires qui présentent une large bande passante par rapport à celle du système mécanique ;
  • Les 4 moto réducteurs permettant l'entraînement en rotation du bras 1 sont parfaitement identiques et synchronisés ;
  • La constante de temps `tau` est négligeable.

La figure ci-dessous présente l'asservissement en position de l’un des 4 moto réducteurs du bras 1.

Magic arms schema bloc.PNG

On donne : `C_m(t)= J_t.(d^2 theta_m(t))/(dt^2)` ou `J_t` est l’inertie des pièces en mouvement ramenée sur l’arbre moteur.

Question 2

Compléter les différents blocs.

Question 3

Etablir la fonction de transfert : `H_(pos)(p) = (Theta_m(p))/(Theta_(mref)(p))=((1+tau_1.p).omega_n^2)/(p^2+2z.omega_n.p+omega_n^2)`

Expliciter ses paramètres caractéristiques.

Question 4

Sachant que la consigne de position `theta_(mref)` est élaborée par intégration de la consigne de vitesse `omega_(mref)`, en déduire la fonction de transfert `H_(vit)(p)=(Omega_m(p))/(Omega_(mref)(p))`



Fleche verte droite.png Voir le corrigé