Exercice : Résolution d'équation différentielles avec la transformée de Laplace - corrigé

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Equation du premier ordre

Soit à résoudre: `3e(t)=4s(t)+2 (ds(t))/(dt)`

avec `e(t)=u(t)` et avec les conditions initiales nulles.

On transforme l'équation différentielle dans le domaine de Laplace grâce au théorème de la dérivée première :

`3e(t)=4s(t)+2 (ds(t))/(dt) rightarrow 3E(p)=4S(p)+2(pS(p)-s(O^+))`

`=> 3E(p)=4S(p)+2pS(p)` (conditions initiales nulles)

`=> 3E(p)=S(p)(4+2p)`

`=> S(p)=E(p)3/(4+2p)`

L'entrée `e(t)` est un échelon unitaire donc :

`e(t)=u(t) => E(p)=1/p`

On résout l'équation dans le domaine de Laplace pour trouver `S(p)` :

`S(p)=3/(p(4+2p))`

Il s'agit maintenant de faire la transformée inverse de Laplace pour revenir dans le domaine temporel. On peut identifier cette expression avec la transformée usuelle `a/(p(p+a))` (approche exponentielle). On commence par mettre en forme le dénominateur pour y faire apparaitre `p(p+a)` en factorisant par 2.

`S(p)=3/(p(4+2p))=3/2 1/(p(p+2))`

d'après la forme du dénominateur `a=2`. Pour identifier `S(p)` à `a/(p(p+a))` il faut faire apparaitre `a` au numérateur en mettant `3/4` en facteur de l'expression :


`S(p)=3/4. 2/(p(p+2))`

La solution temporelle est obtenue par transformée inverse de `S(p)` (on laisse le facteur `3/4` grâce à l'hypothèse de système linéaire) :


Résultat

`s(t)=3/4 (1-e^(-2t))u(t)`

Equation du deuxième ordre

Soit à résoudre: `e(t)=3s(t)+4 (ds(t))/(dt)+ (ds^2(t))/(dt^2)`

avec `e(t)=3u(t)` et avec pour conditions initiales  : `s'(0^+)=5`.


On transforme l'équation différentielle dans le domaine de Laplace : `e(t)=3s(t)+4 (ds(t))/(dt)+ (ds^2(t))/(dt^2) rightarrow E(p)=3S(p)+4(pS(p) +p^2S(p)-s'(O^+)`

`=> E(p)=3S(p)+4pS(p) +p^2S(p)-5`

`e(t)=3u(t) => E(p)=3/p => 3/p=3S(p)+4pS(p) +p^2S(p)-5`

`=> S(p)= (3/p+5)/(p^2+4p+3) = (3+5p)/(p(p^2+4p+3))`

On factorise `p^2+4p+3` en `(p+3)(p+1)` (avec `Delta = 4`)

`=> S(p) = (3+5p)/(p(p+3)(p+1))`

Cette expression ne correspondant à aucune transformée usuelle, on la décompose en éléments simples (voir Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle):

`=> S(p) = A/p+B/(p+3)+C/(p+1)`

Détermination des coefficients par identification

`S(p)= (A(p+3)(p+1)+B(p)(p+1)+C(p)(p+3))/(p(p+3)(p+1))=((A+B+C)p^2+(4A+B+3C)p+(3A))/(p(p+3)(p+1))`

On obtient par identification `{(A+B+C=0),(4A+B+3C=5),(3A=3):} => {(A=1),(B=-2),(C=1):}`

Détermination des coefficients par passage à la limite

  • `lim_(p->0) ((3+5p)(p))/(p(p+3)(p+1)) = lim_(p->0) (Ap)/p+(Bp)/(p+3)+(Cp)/(p+1)`

`=> 1 = A`

  • `lim_(p->-3) ((3+5p)(p+3))/(p(p+3)(p+1)) = lim_(p->-3) (A(p+3))/p+(B(p+3))/(p+3)+(C(p+3))/(p+1)`

`=> -2 = B`

  • `lim_(p->-1) ((3+5p)(p+1))/(p(p+3)(p+1)) = lim_(p->-1) (A(p+1))/p+(B(p+1))/(p+3)+(C(p+1))/(p+1)`

`=> 1 = C`

On obtient la décomposition suivante :

`S(p) = 1/p-2/(p+3)+1/(p+1)`

Solution dans le domaine temporel :

En identifiant terme à terme on obtient

Résultat

`s(t) = [1-2e^(-3t)+e^(-t)]*u(t)`

Equation du deuxième ordre

Soit à résoudre : `3e(t)=2s(t)+3 (ds(t))/(dt)+ (ds^2(t))/(dt^2)`


avec `e(t)=u(t)` et avec les conditions initiales nulles.

Résultat

`s(t) = 3.[1/2-e^(-t)+1/2.e^(-2t)]*u(t)`

Equation du deuxième ordre

Résolution de : `2e(t)=8.s(t)+6.(ds(t))/(dt)+ (ds^2(t))/(dt^2)` avec `e(t)=2.u(t)` et avec les conditions initiales nulles sauf `s'(t) =5`.

On obtient la décomposition suivante : `S(p)=1/2 . 1/p+3/2 . 1/(p+2)-2 . 1/(p+4)`

donc :

Résultat

`s(t) = (1/2+3/2.e^(-2.t)-2.e^(-4.t))u(t)`

Equation du premier ordre avec un élément simple d'ordre 2

Résolution de : `e(t)=5.s(t)+2.(ds(t))/(dt)` avec `e(t)=t.u(t)` et les conditions initiales nulles :

Dans le domaine de Laplace, l'équa. diff. devient : `1/(p²) = 5.S(p) + 2.p.S(p)`

`=> S(p) = 1/(p²(2.p+5))` Comme il y a un terme d'ordre 2 au dénominateur, la décomposition est de la forme (voir Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle - Cas 2) :

`S(p) = A/(p²) + B/p + C/(2.p+5)`.

Les éléments en A et C se déterminent classiquement par passage à la limite : ` A = 1/5` et ` C = 4/25`.

Pour le terme en B, il faut faire tendre B vers `+oo` :

`lim_(p->oo) p/(p²(2.p+5)) = lim_(p->oo) (A.p)/(p²) + (B.p)/p + (C.p)/(2.p+5)`

`=> 0 = 0 + B + C/2` `=> B = -2/25`

Ce qui donne la décomposition : `S(p)=1/5 . 1/(p²) - 2/25 . 1/p + 4/25 . 1/(2.p+5)`

`=> S(p)=1/5 . 1/(p²) - 2/25 . 1/p + 2/25 . 1/(p+5/2)`

`=> s(t)=(1/5 .t - 2/25 + 2/25 . e^(-5/2.t)).u(t)`

Résultat

`1/5 (t - 2/5(1- e^(-5/2.t))).u(t)`