Exercice : Régulateur de Watt

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Regulateur de Watt gravure.png

Ce régulateur était utilisé comme capteur de vitesse dans une boucle d'asservissement à l'époque de la machine à vapeur.

L'axe (1) est entraîné en rotation par un dispositif non représenté à l'arbre moteur d'un élément de machine. L'axe (1) entraîne dans sa rotation autour de l'axe vertical les deux bras (2) et (2') qui prennent une position d'équilibre sous l'action conjuguée de leur poids et de la force centrifuge. L'inclinaison des bras (2) et (2') modifie la position de la \pièce (4) suivant l'axe [math](O, \overrightarrow{z})[/math].

La position de la \pièce n°4 sur l'axe (1) est utilisée en grandeur de sortie du capteur.

Paramétrage

Repère [math]R( \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})[/math] lié au bâti 0;

Repère [math]R_1( \overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{y_{1}}, \overrightarrow{z_{1}})[/math] lié au solide 1;

Repère [math]R_2( \overrightarrow{x_{2}}, \overrightarrow{y_{2}}, \overrightarrow{z_{2}})[/math] lié au solide 2;

Repère [math]R_3( \overrightarrow{x_{3}}, \overrightarrow{y_{3}}, \overrightarrow{z_{3}})[/math] lié au solide 3;

[math] \overrightarrow{OA}=r. \overrightarrow{y_{1}}[/math]

[math] \overrightarrow{BA}=a. \overrightarrow{z_{2}}[/math]

[math] \overrightarrow{CB}=a. \overrightarrow{y_{3}}[/math]

[math] \overrightarrow{DC}=r. \overrightarrow{y_{1}}[/math]

[math] \overrightarrow{G_{2}A}=2.a. \overrightarrow{z_{2}}[/math]

Regulateur de Watt parametrage.PNG

Travail demandé

  1. Identifiez et précisez le ou les mouvements d'entrée(s) et le ou les mouvements de sortie(s) du mécanisme.
  2. Déterminez la relation [math]\phi=f(\psi)[/math]
  3. Déterminez la relation [math]z_{D}=OD=f(\Theta, \psi, a, r)[/math] .
  4. Exprimez le vecteur rotation [math]\Omega_{R_3/R}[/math] .
  5. Calculez les expressions de [math] \overrightarrow{V_{G_{2}/R}}[/math] et [math] \overrightarrow{V_{D/R}}[/math]
  6. Calculez l'expression de [math] \overrightarrow{\Gamma_{G_{2}/R}}[/math] pour [math] \dot{\Theta}[/math] constant.
  7. Application numérique.

La vitesse angulaire du repère [math]R_{1}[/math] par rapport à [math]R[/math] est constante et égale à 2000 tours par minutes. La vitesse angulaire du repère [math]R_{2}[/math] par rapport à [math]R_{1}[/math] est nulle.

[math]r[/math] = 30 mm, [math]a[/math] = 100 mm, [math]\phi = \frac {\pi}{3}[/math]

Calculez [math]|| \overrightarrow{V_{G_{2}/R}}||[/math] et [math]|| \overrightarrow{\Gamma_{G_2/R}}||[/math] .


Fleche verte droite.png Voir le corrigé