Exercice : Mandrin à serrage pneumatique

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Mandrin à serrage extérieur SCHUNK

(extrait du sujet SUP école des Mines 2001)

Le mandrin est un système mécanique fixée au bout de l'arbre d'une machine rotative. Il permet la fixation rapide d'une pièce par déplacement radial synchronisé des mors vers le centre pour un serrage extérieur de la pièce, ou vers l'extérieure pour un serrage intérieur de la pièce.

Le système étudié est un mandrin expansif (serrage par l'intérieure) à commande pneumatique.

Données constructeur

Mandrin pneumatique doc.PNG

Video : [1]

Mandrin pneumatique plan.PNG Mandrin pneumatique nomenclature.PNG

Paramétrage

Mandrin pneumatique graphe liaisons.PNG Mandrin pneumatique schema cinematique.PNG

  • PIVOT GLISSANT d’axe `(O_0 ,vec X_0)` entre le piston 4 et le corps du mandrin 0 :

`vec (theta_(40)) = theta_(40). vec (X_0)` Vecteur déplacement angulaire de 4/0

(Le mécanisme est plan `=> theta_(40) = 0` )

`vec (O_0 O_4)=lambda_(40).vec X_0` Vecteur déplacement linéaire de 4/0.


  • GLISSIERE d’axe `(O_0 ,vec Y_0)` entre le mors 1 et le corps du mandrin 0 :

`vec X_0=vec X_1`; `vec Y_0=vec Y_1`; `vec Z_0=vec Z_1`

`vec (A_0 A_1)=mu_(10) vec Y_0` Vecteur déplacement linéaire de 1/0.


  • APPUI PLAN de normale `(A_1 ,vec X_(1'))` entre le piston 4 et le mors 1 :

`vec (theta_(41)) = theta_(41). vec (X_(1'))` Vecteur déplacement angulaire de 4/1

(Le mécanisme est plan `=> theta_(41) = 0` )

`vec (A_1 A_4)=mu_(41) vec Y_(1')+delta_(41) vec Z_(1')` Vecteur déplacement linéaire de 4/1.

(Le mécanisme est plan `=> delta_(41) = 0` )

Étude géométrique

L’étude géométrique va consister, connaissant le déplacement de chaque mors i (i = 1,2,3), à déterminer la course du piston 4 correspondante. On s’intéresse uniquement à la chaîne fermée constituée par les solides 0, 1 et 4 que l’on considèrera, dans cette étude, comme formant un système plan.

Justifier le choix du modèle pour la liaison entre le piston 4 et le corps du mandrin 0.

En écrivant la fermeture dimensionnelle `vec (O_0 O_0) = vec 0`, déterminer la relation `lambda_(40)=f(mu_(10))`.

En déduire la course du piston 4 si `mu_(10) = 3 mm` et `alpha = 80 °`.

Étude cinématique

On se propose de faire l’étude cinématique du mécanisme.

Donner le torseur cinématique de la liaison pivot glissant entre 4 et 0 dans `(vec x_0, vec y_0, vec z_0)` au point `O_0`.


Donner le torseur cinématique de la liaison glissière entre 1 et 0 dans `(vec x_0, vec y_0, vec z_0)` au point `O_0`.


Donner le torseur cinématique de la liaison appui-plan entre 4 et 1 dans `(vec x_(1'), vec y_(1'), vec z_(1'))` au point `A_1`.

Que peut-on dire de ce torseur ramené au point `O_0` ?

Pour la suite des calculs, vous utiliserez la forme la plus simple.

Ecrire la fermeture cinématique. En déduire les 6 équations scalaires


Déterminer la loi entrée-sortie entre `u_(40)` (projection de la vitesse du point `O_0` appartenant au piston 4 par rapport au bâti 0 suivant `vec X_0` ) et `v_(10)` (projection de la vitesse du point `O_0` appartenant au mors 1 par rapport au bâti 0 suivant `vec Y_0` ).

Étude statique

On se propose, dans cette partie, de déterminer les efforts qui s’exercent sur le stator numéroté 5 dans l’étude afin de vérifier la donnée fournie par le fabricant du mandrin qui donne une action de serrage de 2000 daN sous une pression de fonctionnement de 6 bars. On se placera donc juste au moment où le préhenseur va saisir un stator 5 amené par la pince du manipulateur.


Pour simplifier le problème, on fera les hypothèses suivantes :

  • Le poids des pièces sera négligé devant les actions mécaniques de liaisons.
  • Pas de frottement au niveau des contacts des liaisons au sein du mandrin.
  • Répartition uniforme des pressions de contact entre les différents solides et la pression d’air sur la face du piston.


Déterminer le torseur d’action de l’air sur le piston 4 au point `O_0` dans la base `(vec x_0, vec y_0, vec z_0)`.


Pour l’application numérique, soit D le diamètre extérieur du piston et d le diamètre intérieur du piston : D = 157 mm ; d = 45 mm.

Modélisation de l'action mécanique des 3 mors sur le piston 4

Paramétrage des repères liés aux mors 1, 2, et 3

Mandrin pneumatique param mors.PNG

Mandrin pneumatique param mors cht base.PNG

On donne (ci-dessus) le paramétrage des 3 repères liés au mors 1,2 et 3. Ecrire le torseur d’actions mécaniques du mors i sur le piston 4 en `O_0` dans la base `(vec x_(1'), vec y_(1'), vec z_(1'))`.


On supposera que les actions mécaniques des 3 mors sur le piston 4 sont identiques.

Montrer que le torseur des actions mécaniques de l’ensemble des 3 mors sur le piston 4 au point `O_0` et dans la base `(vec x_0, vec y_0, vec z_0)`, en fonction des composantes du torseur d’action du mors 1 sur le piston 4 est de la forme :

`{T_(sum "Mors"->S_4)}_(O_0) = {(X_(sum "Mors" 4),L_(sum "Mors" 4)), (0,0),(0,0):}} _(0_0,R_0)`


Donner les valeurs de `X_(sum "Mors" 4)` et `L_(sum "Mors" 4)`.

Détermination de l'action du corps 0 sur le piston 4

Ecrire le torseur d’action mécanique de liaison entre le corps du mandrin 0 et le piston 4 en `O_0` dans la base `(vec x_0, vec y_0, vec z_0)`.

Ecrire les 6 équations scalaires traduisant l’équilibre du piston 4.

En déduire l’action du corps 0 sur le piston 4 et commenter le résultat

Déterminer la valeur de `M_(14)` et l’expression de `X_(14)` fonction de `X_air` et de `alpha`.

Détermination de l'action de serrage de la pièce 5 sur le mors 1

Ecrire le torseur d’action mécanique de liaison entre le corps 0 et le mors 1 en `O_0` dans la base `(vec x_0, vec y_0, vec z_0)`.

On donne le torseur d’action mécanique du stator 5 sur le mors 1 en un point P : `{T_(5->1)}_(P) = {(0,0), (Y_(51),0),(0,0):}} _(P,R_0)`


Ecrire les 6 équations scalaires traduisant l’équilibre du mors 1.

Déterminer `Y_(51)` en fonction de `X_(air)` et `alpha`.

Compte tenu des hypothèses, commenter le résultat obtenu et vérifier la capacité de serrage du mandrin 125-26.

Déterminer les composantes du torseur d’action mécanique du corps 0 sur le mors 1 lorsque c’est possible.


Fleche verte droite.png Voir le corrigé