Exercice : Joint de Hooke - corrigé

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Changements de base

Les projections de changements de base correspondant au paramétrage du système sont :

Chgts de base Hooke.PNG avec :
  • [math] \overrightarrow{y_2}=cos \theta_1. \overrightarrow{y_1}+sin \theta_1. \overrightarrow{z_1}[/math]
  • [math] \overrightarrow{z_2}=cos \theta_1. \overrightarrow{z_1}-sin \theta_1. \overrightarrow{y_1}[/math]

et

  • [math] \overrightarrow{x_4}=cos \theta_2. \overrightarrow{x_1}+sin \theta_2. \overrightarrow{y_1}[/math]
  • [math] \overrightarrow{y_4}=cos \theta_2. \overrightarrow{y_1}-sin \theta_2. \overrightarrow{x_1}[/math]

Loi entrée sortie

Les segments AD et AB restent constamment perpendiculaires donc : [math] \overrightarrow{y_4}. \overrightarrow{AB}=0[/math]

[math]=\gt \overrightarrow{y_4}.( \overrightarrow{A0}+ \overrightarrow{OB})=0[/math]

[math]=\gt (cos \theta_2. \overrightarrow{y_1}-sin \theta_2. \overrightarrow{x_1}).(-a. \overrightarrow{x_1}+a.tan \alpha . \overrightarrow{z_2})=0[/math]

[math]=\gt (cos \theta_2. \overrightarrow{y_1}-sin \theta_2. \overrightarrow{x_1}).(-a. \overrightarrow{x_1}+a.tan \alpha .(cos \theta_1. \overrightarrow{z_1}-sin \theta_1. \overrightarrow{y_1}))=0[/math]

[math]=\gt a.sin \theta_2-a.cos \theta_2.tan \alpha .sin \theta_1=0[/math]

[math]=\gt \theta_2=arctan(tan \alpha .sin \theta_1)[/math]

Représentation pour [math]\alpha = 30°[/math]:


L'angle de sortie [math]\theta_2[/math] varie entre [math]+\alpha[/math] et [math]-\alpha[/math]. On a [math]\theta_2=+\alpha[/math] lorsque [math]\theta_1= \frac {\pi}{2}+k.2.\pi[/math] et [math]\theta_2=-\alpha[/math] lorsque [math]\theta_1=- \frac {\pi}{2}+k.2.\pi[/math]. Ce qui parait logique vu la constitution du mécanisme.