Exercice : Enceinte chauffée

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Mise en situation[modifier]

Le système représenté ci-contre est chargé de maintenir la température d’une enceinte au moyen d'un circuit primaire et d'un circuit secondaire Le chauffage est assuré par un échangeur thermique entre les deux circuits. Une vanne permet de réguler le débit du fluide calorifique du circuit primaire dans l’échangeur. Le débit dans le circuit secondaire est assuré par une pompe.

Enceinte chaufee.png

Paramétrage :

  • `alpha(t)` : angle d'ouverture de la vanne (`A(p)` dans le domaine de Laplace);
  • `q(t)` : débit du circuit primaire dans l'échangeur;
  • `theta_1 (t)` : température de fluide dans le circuit secondaire à la sortie de l'échangeur;
  • `theta(t)` : température dans l'enceinte.

Le système est régit par les équations suivantes :

  • `q(t) = k_0.alpha(t)` loi de fonctionnement de la vanne reliant le débit et l'angle de rotation de la commande;
  • `theta_1 (t)+tau_1.(d theta_1 (t))/(dt) = k1.q(t)`  : transfert de chaleur dans l'échangeur;
  • `theta (t)+tau_2.(d theta (t))/(dt) = k2.theta_1(t)`  : transfert de chaleur dans l'enceinte;

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles.

L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne `alpha(t)` et la sortie la température de l’enceinte `theta(t)`.

Question 1 : Traduire dans le domaine de Laplace les équations de fonctionnement. En déduire les différentes fonctions de transfert.

Question 2 : Représenter le système par un schéma bloc faisant intervenir 3 blocs.

Question 3 : Déterminer la fonction de transfert globale de ce système `H_0(p)`.

Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne et d'installer un capteur dans l’enceinte de transmittance égale à 0,02 V/°C qui permet de mesurer la température `theta( t )` et de la traduire en une tension `u_(mes) ( t )`. Un transducteur de transmittance `K_t` convertit la consigne de température `theta_c (t)` en une tension de consigne `u_c ( t )`. Cette tension est comparée à `u_(mes) ( t )` pour élaborer l'écart. Celui-ci est amplifié par un correcteur de gain pur `K_c` puis est injecté comme tension `U_m` dans un moteur électrique dont la fonction de transfert est `H_m(p)=(A(p))/(U_m(p))=(K_m)/(p(1+tau_m.p))` (simplification de la fonction de transfert d'un moteur par négligence de l'inductance et du frottement). Le moteur éléctrique agit directement sur la vanne.

Question 4 : Représenter le schéma-bloc du système régulé, `theta_c` étant l'entrée du système, `theta` la sortie.

Question 5 : Quelle doit être la transmittance `K_t` du transducteur pour que le système soit en équilibre lorsque la sortie correspond à l'entrée.

Question 6 : Calculer la fonction de transfert du système.

Question 7 : On demande au système une température de `theta_0` (`theta_c (t)=theta_0.u(t)`). Quelle est la valeur finale de `theta` obtenue? Conclure.


Fleche verte droite.png Voir le corrigé


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