Exercice : Bras manipulateur - corrigé

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Changements de base

Chgt de base bras manipulateur.PNG

[math] \overrightarrow{x_1}=cos \alpha \overrightarrow{x_0}+sin \alpha \overrightarrow{y_0}[/math]

[math] \overrightarrow{y_1}=cos \alpha \overrightarrow{y_0}-sin \alpha \overrightarrow{x_0}[/math]

[math] \overrightarrow{z_1}= \overrightarrow{z_0}[/math]

et

[math] \overrightarrow{z_2}=cos \beta \overrightarrow{z_1}+sin \beta \overrightarrow{x_1}[/math]

[math] \overrightarrow{x_2}=cos \beta \overrightarrow{x_1}-sin \beta \overrightarrow{z_1}[/math]

[math] \overrightarrow{y_2}= \overrightarrow{y_1}[/math]

[math] \overrightarrow{OC}[/math]

[math] \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}=h \overrightarrow{z_0}+(\lambda + l) \overrightarrow{x_2}[/math]

Vitesse de C par rapport à R

Dérivation directe

[math] \overrightarrow{OC}=h \overrightarrow{z_0}+(\lambda + l)(cos \beta \overrightarrow{x_1}-sin \beta \overrightarrow{z_1})[/math]


[math] \overrightarrow{OC}=h \overrightarrow{z_0}+(\lambda + l)(cos \beta (cos \alpha \overrightarrow{x_0}+sin \alpha \overrightarrow{y_0})-sin \beta \overrightarrow{z_0})[/math]

[math] \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}=[ \frac {d \overrightarrow{OC}}{dt}]_R = \dot \lambda(cos \beta (cos \alpha \overrightarrow{x_0}+sin \alpha \overrightarrow{y_0})-sin \beta \overrightarrow{z_0})+(\lambda + l)(- \dot{\beta}sin \beta (cos \alpha \overrightarrow{x_0}+sin \alpha \overrightarrow{y_0})+ cos \beta (- \dot{\alpha}sin \alpha \overrightarrow{x_0}+ \dot{\alpha}cos \alpha \overrightarrow{y_0})- \dot{\beta}cos \beta \overrightarrow{z_0})[/math]

Par distribution de vitesse

[math] \overrightarrow{V_{ B \in 2/R }}= \overrightarrow{V_{ A \in 2/R }}+ \overrightarrow{\Omega_{ 2/R }} \wedge \overrightarrow{AB} = ( \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_1}) \wedge \lambda \overrightarrow{x_2}[/math]

[math]= ( \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_1}) \wedge \lambda(cos \beta \overrightarrow{x_1}-sin \beta \overrightarrow{z_1})[/math]

[math]= \lambda \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \lambda \dot{\beta}(cos \beta \overrightarrow{z_1}+sin \beta \overrightarrow{x_1})[/math]

[math]= \lambda \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \lambda \dot{\beta} \overrightarrow{z_2}[/math]

[math] \overrightarrow{V_{ B \in 3/R }}= \overrightarrow{V_{ B \in 3/2 }} + \overrightarrow{V_{ B \in 2/R }}[/math] (composition de vitesses)

[math] \overrightarrow{V_{ B \in 3/R }}= \dot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + \lambda \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \lambda \dot{\beta} \overrightarrow{z_2}[/math]

[math] \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}= \overrightarrow{V_{ B \in 3/R }} + \overrightarrow{\Omega_{ 2/R }} \wedge \overrightarrow{BC}[/math]

[math] \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}= \dot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + \lambda \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \lambda \dot{\beta} \overrightarrow{z_2} + ( \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_1}) \wedge l \overrightarrow{x_2}[/math]

[math] \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}= \dot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + (\lambda+l)( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2})[/math]


Avec la formule de Bour

[math] \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}=[ \frac {d \overrightarrow{OC}}{dt}]_R=[ \frac {d \overrightarrow{OA}}{dt}]_R+[ \frac {d \overrightarrow{AB}}{dt}]_R+[ \frac {d \overrightarrow{BC}}{dt}]_R[/math]

[math]= \overrightarrow{0}+[ \frac {d \overrightarrow{AB}}{dt}]_{ R_2 }+ \overrightarrow{\Omega_{ 2/R }} \wedge \overrightarrow{AB}+[ \frac {d \overrightarrow{BC}}{dt}]_{ R_2 }+ \overrightarrow{\Omega_{ 2/R }} \wedge \overrightarrow{BC}[/math]

[math]= \dot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + ( \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_1}) \wedge { \lambda+l } \overrightarrow{x_2}[/math]

[math] \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}= \dot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + (\lambda+l)( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2})[/math]

Accélération de C dans R

[math] \overrightarrow{\Gamma_{ C \in 3/R }}=[ \frac {d \overrightarrow{V_{ C \in 3/R }}}{dt}]_R= [ \frac {d ( \dot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + (\lambda+l)( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2}))}{dt}]_R [/math]

[math]= \ddot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + \dot{\lambda}[ \frac {d \overrightarrow{x_2}}{dt}]_{ R } + \dot \lambda( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2} + (\lambda+l)( \ddot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1} - \dot{\alpha} \dot{\beta}sin \beta \overrightarrow{y_1} + \dot{\alpha}cos \beta [ \frac {d \overrightarrow{y_1}}{dt} ]_R - \ddot{\beta} \overrightarrow{z_2} - \dot{\beta}[ \frac {d \overrightarrow{z_2}}{dt}]_R)[/math]

Calcul des dérivées des vecteurs unitaires par formule de Bour:

  • [math] [ \frac {d \overrightarrow{x_2}}{dt}]_{ R } = [ \frac {d \overrightarrow{x_2}}{dt}]_{ R_2 } + \overrightarrow{\Omega_{ 2/R }} \wedge \overrightarrow{x_2} = \overrightarrow{0}+ ( \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_1}) \wedge \overrightarrow{x_2} = \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1} \wedge { cos \beta \overrightarrow{x_1}-sin \beta \overrightarrow{z_1} }+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_2} \wedge \overrightarrow{x_2} = \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2\lt }math\gt *\lt math\gt [ \frac {d \overrightarrow{x_1}}{dt}]_{ R } = [ \frac {d \overrightarrow{y_1}}{dt}]_{ R_1 } + \overrightarrow{\Omega_{ 1/R }} \wedge \overrightarrow{y_1} = \overrightarrow{0}+ \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1} \wedge \overrightarrow{y_1}= - \dot{\alpha} \overrightarrow{x_1\lt }math\gt *\lt math\gt [ \frac {d \overrightarrow{z_2}}{dt}]_{ R } = [ \frac {d \overrightarrow{z_2}}{dt}]_{ R_2 } + \overrightarrow{\Omega_{ 2/R }} \wedge \overrightarrow{z_2} = \overrightarrow{0}+ ( \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_1}) \wedge \overrightarrow{z_2} = \dot{\alpha} \overrightarrow{z_1} \wedge { cos \beta \overrightarrow{z_1}+sin \beta \overrightarrow{x_1} }+ \dot{\beta} \overrightarrow{y_2} \wedge \overrightarrow{z_2} = \dot{\alpha}sin \beta \overrightarrow{y_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{x_2\lt }math\gt En remplaçant dans l'expression de l'accélération précédente on obtient : \lt math\gt \overrightarrow{\Gamma_{ C \in 3/R }}= \ddot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + \dot{\lambda}( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2} + \dot{ambda( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2}} + (\lambda+l)( \ddot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1} - \dot{\alpha} \dot{\beta}sin \beta \overrightarrow{y_1} + \dot{\alpha}cos \beta (- \dot{\alpha} \overrightarrow{x_1} - \ddot{\beta} \overrightarrow{z_2} - \dot{\beta}( \dot{\alpha}sin \beta \overrightarrow{y_1}+ \dot{\beta} \overrightarrow{x_2})[/math]

En factorisant l'expression :

[math] \overrightarrow{\Gamma_{ C \in 3/R }}= \ddot{\lambda} \overrightarrow{x_2} + 2 \dot{\lambda}( \dot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta} \overrightarrow{z_2} + (\lambda+l)( \ddot{\alpha}cos \beta \overrightarrow{y_1} - \dot{\alpha} \dot{\beta}sin \beta \overrightarrow{y_1} - \dot{\alpha²}cos \beta \overrightarrow{x_1}- \ddot{\beta} \overrightarrow{z_2} - \dot{\beta} \dot{\alpha}sin \beta \overrightarrow{y_1}- \dot{\beta²} \overrightarrow{x_2}[/math]