Exemple de linéarisation : Réservoir cylindrique

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Présentation du problème

Reservoir.PNG

On considère un réservoir cylindrique de section S. amath Il est alimenté en eau par un débit d'entrée `Q_{e}(t)`.

La hauteur courante dans le réservoir est `H(t)`.

On soutire de l'eau avec un débit `Q_{s}(t)`.

Le débit `Q_{s}(t)` n'est fonction que de la hauteur `H(t)` suivant la relation que l'on admettra :

`Q_{s}(t)=K.\sqrt{H(t)}`

La variable d'entrée du système est `Q_{e}(t)`,

la variable de sortie `H(t)`,

`Q_{s}(t)`, qui peut être une fuite, est considéré comme une perturbation.

Données numériques

S= 400m²; Qe=1m³/s; K=0,1 unités S.I. H(t=0)=0; (C'est un grand réservoir !!!)

Résolution

On peut représenter le système sous une forme schématique: Reservoir schema.PNG

Remarques:

  • Cette représentation est un schéma-bloc
  • Le système n’est pas asservi
  • Les signaux sont analogiques

On écrit la relation qui lie la différence des débits : `Q_{e}(t)-Q_{s}(t)` et la variation de hauteur `\frac{dH(t)}{dt}`

Soit `V(t)` le volume d'eau dans le réservoir: `V(t)=S\times H(t)` `(base\times hauteur)`

En dérivant par rapport au temps: `\frac{dV(t)}{dt}=S\times \frac{dH(t)}{dt}`

Le débit réel de remplissage `Q_{e}(t)-Q_{s}(t)` , est la variation du volume `V(t)` par unité de temps:

`\frac{dV(t)}{dt}=Q_{e}(t)-Q_{s}(t)` soit `Q_{e}(t)-Q_{s}(t)=S\times \frac{dH(t)}{dt}` (équation 1).

On suppose Qe constant = 1(m^3)/s . Comment le système évolue-t-il ?

  • si `Q_{e}(t)>Q_{s}(t), frac{dH(t)}{dt}>0`: le niveau monte
  • si `Q_{e}(t)<Q_{s}(t), frac{dH(t)}{dt}<0`: le niveau baisse,

On aura équilibre si `\frac{dV(t)}{dt}=0`,

c'est à dire si `Q_{e}(t)-Q_{s}(t)=1 m^{3}/s = Q_{0}`,

Lorsque cet équilibre est atteint, on note `H(t)=H_"fin"` ,

on a alors la relation : `Q_{e}(t)=Q_{0}=K\sqrt{H_("fin")}Rightarrow H_("fin")=\frac{Q_{0}^\text{2}}{K^2}`

Cette situation peut être atteinte au bout d'un temps infini.

Application numérique : `H_"fin"=\frac{1^2}{0,1^2}=100` mètres

En remplaçant dans cette équation, `Q_s(t)` par `K\sqrt{H_(t)\,` on trouve l'équation différentielle du système:

`Q_(e)(t)-K sqrt(H(t)) = S.(dH(t))/(dt)`

C’est une équation différentielle du 1er ordre, non linéaire -> résolution délicate et hors programme.

Linéarisation de l'équation

On va transformer l'équation différencielle du système en une équation différentielle du 1er ordre linéaire.

La linéarisation se fait pour des petites variations au voisinage de `H(t)=H_{fin}` On pose `H(t)=H_{fin}+h(t)`

`Q_{e}(t)=Q_{0}+q_{e}(t)`

`Q_{s}(t)=Q_{0}+q_{s}(t)`

L'équation (1) devient: `Q_{0}+q_{e}(t)-K\sqrt{H_{fin}+h(t)}\,\,=S\times \frac{dh(t)}{dt}`

`Q_{0}+q_{e}(t)-K\sqrt{H_{fin}}\times \sqrt{1+\frac{h(t)}{H_{fin}}}\,\,=S\times \frac{dH(t)}{dt}` avec `\,Q_{0}=K\sqrt{H_{fin}}\,`

On utilise le développement limité au voisinage de zéro: `\sqrt{1+\varepsilon }=(1+\varepsilon )^{1/2}`

l'équation devient `q_{e}(t)-\frac{K^2}{2.S.Q_{0}}h(t)\,\,=S\times \frac{dh(t)}{dt}` en posant `\lambda =\frac{K^2}{2.S.Q_{0}}`

On obtient l'équation différentielle linéaire du 1er ordre :

`\lambda \times h(t)\,\,+h'(t)=\frac{q_{e}(t)}{S}`

Pour `q_{e}(t)=`constante`=q_{e}` la résolution se fait en cherchant une solution générale de l’équation sans second membre et une solution particulière de l'équation avec second membre.

la solution de l’équation sans second membre: `\lambda \times h(t)\,\,+h'(t)=0` est de la forme `h(t)=A\times e^{-\lambda t}`

La fonction constante `h(t)\,\,=\frac{q_{e}}{\lambda \times S}` est une solution particulière de l’équation avec second membre.

La solution générale est: `h(t)=A. e^{-\lambda t}+\frac{q_{e}}{\lambda . S}`

Si on a les conditions initiales `h(t=0)=h_0 ` et `q_e(t)=q_e(t=0)=q_0 `

alors `h_0=\frac{A+q_0}{\lambda.S} \rightarrow A= h_0 - \frac{q0}{\lambda.S}`

` h(t) = ( h_0 - \frac{q0}{\lambda.S}) e^{-\lambda t}+\frac{q_{e}}{\lambda .S}`

`H(t) = H_"fin" + ( h_0 - \frac{q0}{\lambda.S}) e^{-\lambda t}+\frac{q_{e}}{\lambda .S}`

Remarque: on n'a pas linéarisé le système, mais seulement l'équation, et on aura une solution suffisamment "approchée" à condition que ` q_0 ` reste "petit" devant `Q_o `.

Reservoir courbe.PNG