Eléments d'algèbre binaire

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Définitions

On appelle binaires des variables ou fonctions qui ne prennent que deux états: vrai ou faux, oui ou non, 1 ou 0.

On dit aussi variable ou fonction logique (à distinguer de variable ou fonction "analogique", qui varie de façon continue et de fonction "numérique" qui prend un nombre fini de valeur sur un intervalle donné).

Les variables et les fonctions binaires ne sont pas seulement présentes dans le cadre de l’automatique industrielle, dans l'informatique, mais aussi dans la vie courante.

Par exemple un automobiliste va prendre la décision de ralentir si:

  • il voit un panneau de limitation à 50 km/h et si il roule à plus de 50 km/h et si il est discipliné

ou

  • si un voyant signalant un défaut grave s’allume au tableau de bord

"L’automobiliste est discipliné" est une variable binaire.

"L’automobiliste ralentit" est une fonction binaire.


On étudie les fonctions de ces variables binaires à l’aide de l’algèbre Booléenne ou algèbre de BOOLE, (mathématicien anglais 1815-1864). Les fonctions booléennes sont en général définies par un tableau de vérité, qui donne la valeur de la fonction pour toutes les combinaisons possibles des variables.

Les trois opérateurs de base de l'algèbre Booléeenne

La fonction NON (ou "Négation", "Inversion", "Complément")

Elle est notée `bar x` ou /x ( x barre ).

Si `x` vaut 0 alors `bar x` vaut 1

Si `x` vaut 1 alors `bar x` vaut 0

C'est une fonction d'une seule variable

Table de vérité de la fonction NON :
`x`
`bar x`
0 1
1 0

La fonction OU inclusif (ou "(ré)Union", "Addition", "Somme logique")

Notation: `f(x,y)=x+y` (x ou y)


Cette fonction vaut 1 si l'une ou l'autre des variables x,y vaut 1

C'est une fonction de deux variables

Table de vérité de la fonction OU :
`x`
`y`
`x+y`
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

La fonction ET (ou "Intersection", "Produit logique")

Notation: `f(x,y)=x.y` ( x et y )


f(x,y) vaut 0 si l'une ou l'autre des variables x,y vaut 0


C'est une fonction de deux variables

Table de vérité de la fonction ET :
`x`
`y`
`x.y`
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Cas d'une fonction de 3 variables

Les fonctions ET et OU peuvent s'étendre facilement à trois variables ou davantage par associativité.

Tableau de vérité pour 3 variables:

`x`
`y`
`z`
`x+y+z`
`x.y.z`
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

Propriétés des opérateurs ET, OU, NON

On peut démontrer un certain nombre d'identités remarquables qui permettent de simplifier les expressions logiques:

`bar bar a = a`

`a + a = a` (relation d'idempotence)

`a . a = a`

`a + 0 = a`

`a . 0 = 0`

`a + 1 = 1`

`a . 1 = a`

`a + bar a = 1`

`a . bar a = 0`

commutativité

`a . b = b . a`

absorbtion

`a . (a + b) = a`

`a + (a . b) = a`

associativité

`a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)`

`a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)`

distributivité

`a . (b + c) = (a . b) + (a . c)`

`a + (b . c) = (a + b) . (a + c)`

Les théorèmes de MORGAN

Premier théorème de Morgan

Le complément de la somme de deux (ou plusieurs) variables est égal au produit des compléments des deux (ou plusieurs) variables.

`bar (a + b) = bar a . bar b`


Deuxième théorème de Morgan

: Le complément du produit de deux (ou plusieurs) variables est égal à la somme des compléments des deux (ou plusieurs) variables.

`bar (a . b) = bar a + bar b`

centre d'intérêt:logique