Du point au solide

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La cinématique est l'étude des mouvements des solides (position, vitesse, accélération) par rapport à un référentiel en fonction du temps, indépendamment des causes qui les ont provoqués.

Notion de référentiel

La définition d'un référentiel d'observation est primordiale pour décrire les grandeurs cinématique et leur évolution dans le temps.

Pour l'observation des phénomènes cinématiques, on utilisera des repères orthonormés directs dimension 3, (R), constitués :

  • d’une base orthonormée directe de dimension 3, définie par trois vecteurs unitaires (de norme 1) `vec(x_i), vec(y_i), vec(z_i)`, ;
  • d’une origine O_i.

On le note : `R_i(0_i,vec(x_i), vec(y_i), vec(z_i))`

Remarque : Sur une représentation de paramétrage d'un mécanisme,on ne cherche pas nécessairement à représenter les 3 axes du repère comme des vecteurs unitaires, ni même de les tracer de la même longueur.

Repere othonorme direct.PNG

Règle des 3 doigts de la main 'droite' (pour vérifier qu'une base est directe) Regle des 3 doigts.jpg


Solide indéformable et repère lié

Pour développer la cinématique du solide, on considère, dans un premier temps les solides comme indéformables.

Les pièces d'un mécanisme sont supposées infiniment rigides.

A retenir

Un solide S est dit indéformable lorsqu'à tout instant t, la distance entre deux points quelconques A, B ∈ S , est constante.

On peut écrire que `vec(AB)^2 = cste` .

Chaque solide S_i (ou pièce) d'un mécanisme sera lié à un repère R_i et sera considéré comme fixe dans ce repère.

Exemple : Robot manipulateur

Description

On considère un robot manipulateur constitué des solides suivants :

  • 0 : le socle considéré comme fixe;
  • 1 : la chaise en rotation d'axe verticale par rapport au socle;
  • 2 : le bras en rotation d'axe horizontale par rapport à la chaise 1;
  • 3 : l'avant bras en rotation d'axe horizontale par rapport au bras 2;
  • 4 : le poignet en rotation par rapport à l'avant bras 3;
  • 5 : la pince en rotation par rapport au poignet 4;

On pose le repère `R_0(O_0,vec(x_0),vec(y_0),vec(z_0))` lié au socle 0 et considéré comme fixe.

Robot1.PNG

Repérage de la position d'un point matériel

La position d'un point M peut être définie dans le repère R par un "vecteur position" `vec(OM)`qui prend son origine à l'origine du repère `O` (ou à un point fixe du repère).

Système de coordonnées cartésiennes (généralement utilisé)

Si on inscrit le vecteur `vec(OM)` dans un parallélépipède dont trois cotés sont confondus avec les axes du repère R, on obtient les trois projections `x_M(t), y_M(t), z_M(t)` du segment [OM] sur `vec x`, `vec y` et `vec z`. Coordonnees cartesiennes.png

A retenir

Le vecteur `vec(OM)` peut donc s'écrire comme la somme de trois vecteurs :

`vec(OM)= x_M(t).vec(x) + y_M(t).vec(y) + z_M(t).vec(z)`

où `vec x`, `vec y` et `vec z` sont les vecteurs constituant le repère R.

On peut également l'écrire en colonne : `vec(OM)= [(x_M(t)), (y_M(t)), (z_M(t))]_R`

Ici les trois vecteurs unitaires `vec x`, `vec y` et `vec z` sont sous entendus mais il est donc nécessaire de préciser dans quel repère le vecteur est exprimé.

coordonnées cylindriques

Le point M est repéré, en projection dans le plan `(vec x, vec y)`, par le rayon `r` et l'angle `theta` formé avec l'axe `vec x`. Le troisième paramètre est la projection de M sur l'axe `vec z` notée h.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Coordonnees_cylindriques.png


On peut convertir les coordonnées cylindriques `(r, theta, z)` en coordonnées cartésiennes `(x, y, z)` grâce aux formules suivantes :

  • `x = r cos theta `
  • `y = r sin theta `
  • `z = z`

coordonnées sphériques

Coor spheriques.png

Étant donné un repère cartésien (O, x, y, z), les coordonnées sphériques (ρ, θ, φ) d'un point M sont définies par :

  • ρ est la distance du point M au centre O et donc ρ > 0;
  • φ est l'angle non orienté formé par les vecteurs `vec z` et `vec (OM)`, appelé angle zénital ou colatitude ;
  • θ est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point M. Si H est le projeté orthogonal de M dans le plan horizontal (O, x, y), alors θ peut être défini comme l'angle formé par les vecteurs `vec x` et `vec (OH)`.

Par convention, et pour assurer l'unicité de ρ, l'angle φ est compris entre 0 et π radians (0 et 180°) et θ entre 0 et 2π radians (0 et 360°. En conséquence la relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

  • ` x = rho sin phi cos theta`
  • ` y = rho sin phi sin theta `
  • ` z = rho cos phi `

Paramétrer la position relative de 2 solides

Avec un vecteur position, on peut donc facilement paramétrer la position d'un point dans un repère (avec 3 paramètres quelque soit le système de coordonnées utilisé). Le repérage de la position d'un solide nécessite plus de paramètres.

Mouvements possible d'un solide

Le mouvement d'un solide S complètement libre par rapport à un repère R fixe peut être décrit par décomposition en 6 mouvements de base : 3 translation et 3 rotations :

Degres de liberte.PNG Reperage avion.png

Si on lie un repère `R_1` au solide `S_1`, il faut donc, en plus du repérage de la position de l'origine `O_1` par rapport à `O` repérer les rotations du repère `R_1` par rapport à `R`.

Angles d'Euler

Les angles d'Euler sont une manière de paramétrer une rotation quelconque entre deux repères à partir de 3 angles :

  • la précession `phi`;
  • la nutation `theta` ;
  • la rotation propre `psi`.

Angles euler.gif

Voir Animation flash sur les angle d'Euler de Geneviève Tulloue.

Rotation simplifiée autour d'un axe unique

Dans l'étude des mécanismes, on est confronté à des mouvements de solides conditionnés par les liaisons permettant peu de possibilités de mouvement, et très souvent ne permettant qu'une rotation. Le problème est donc simplifié.

Exemple du Robot manipulateur :

Le mouvement possible entre la chaise 1 du robot et le socle 0 est une rotation d'axe `(O_0,vec(z_0))`. On peut donc poser un repère `R_1(O_1,vec(x_1),vec(y_1),vec(z_1))` lié à la chaise 1 tel que `vec(z_1)=vec(z_0)` et `O_0=O_1`. On pose `Theta_(01)=(vec(x_0),vec(x_1))=(vec(y_0),vec(y_1)).

Robot2.PNG


Figure de changement de base

Afin de clarifier la compréhension du mécanisme et d'écrire facilement les relations de passage de la base `R_0` à `R_1`, on réalise une figure de changement de base, c'est à dire une figure en projection plane qui montre l'angle de passage entre les deux bases dans le plan de projection.

A retenir

Afin que les angles représentés soient positifs, Il est important :

  • d'utiliser des repères orthonormés directs;
  • de poser des paramètres angulaires compris entre 0 et `pi/2` (environ 30°);
  • de représenter le changement de repère par une projection plane faisant apparaitre l'angle de passage dans le sens trigonométrique.

On représenter cet angle de façon positive par rapport à l'orientation des repères même si il est négatif dans la position particulière représentée du mécanisme.

Robot2 chgt de base.PNG

On peut alors écrire les relations entre les axes des deux repères :

  • `vec(x_1)=cos Theta_(01).vec(x_0)+sin Theta_(01).vec(y_0)
  • `vec(y_1)=cos Theta_(01).vec(y_0)-sin Theta_(01).vec(x_0)

De la même manière :


L'avant-bras étant en rotation d'axe `(O_2,vec(y_1))` par rapport à la chaise 1, on peut donc poser un repère `R_2(O_2,vec(x_2),vec(y_2),vec(z_2))` lié à l'avant-bras 2 tel que `vec(y_2)=vec(y_1)`. `0_2` est positionné au centre de la liaison pivot entre 1 et 2. On pose `Theta_(12)=(vec(x_1),vec(x_2))=(vec(z_1),vec(z_2))`.

Robot3bis.PNG

Avec la figure de changement de base ci-dessus on obtient :

  • `vec(x_2)=cos Theta_(12).vec(x_1)-sin Theta_(12).vec(z_1)
  • `vec(z_2)=cos Theta_(12).vec(z_1)+sin Theta_(12).vec(x_1)

Ecriture du vecteur position

On pose :

  • la longueur `O_0 O_2` = h
  • la longueur `O_2 P` = l (où P est le point correspondant à l'extrémité du bras).

On remarque que `h` et `l` sont des longueur invariante du mécanisme.

On peut alors écrire facilement la position du point P en utilisant les différents repères mis en place :

Position du point P par rapport à `R_0`

`vec {O_0 P} = h. vec {z_0} + l.vec {x_2}`

On remarque que cette expression de `vec {O_0 P}` est la plus simple possible et en l'absence de précision, il faut l'utiliser en priorité.

On peut également projeter (si demandé) `vec {O_0 P}` dans `R_0`, c'est à dire l'exprimer par des projection sur `x_0`, `y_0` et `z_0`. On utilise alors les relation de projection établie précédemment grâce aux figures de changement de base.

`vec {O_0 P} = h. vec {z_0} + l.vec {x_2} `

`vec {O_0 P} = h. vec {z_0} + l.(cos Theta_(12).vec(x_1)-sin Theta_(12).vec(z_1))` (en remplaçant `vec x_2`)

`vec {O_0 P} = h. vec {z_0} + l.(cos Theta_(12).(cos Theta_(01).vec(x_0)+sin Theta_(01).vec(y_0))-sin Theta_(12).vec(z_0))` (en remplaçant `vec x_1` et en remarquant que `vec z_1 = vec z_0`)

Trajectoire du point matériel

La trajectoire d'un point matériel est le lieu géométrique des positions successives occupées par le point au cours du temps par rapport au repère choisi . Elle est définie par trois fonctions du temps : x(t) , y(t) et z(t) qui permettent de déterminer l'équation horaire du mouvement s = f(t) .


Vitesse

La vitesse d'un point matériel est notée de la façon suivante pour toute la suite du cours :

A retenir

`vec(V_(A in S//R))` signifie "vitesse du point A appartenant au solide S par rapport au référentiel R".

Le vecteur vitesse du point A du solide S est le vecteur lié d'origine A égal au vecteur dérivé par rapport au temps du vecteur position `vec(OA)` dans le référentiel R:

A retenir

`vec(V_(A in S//R))=[(d vec(OA))/(dt)]_R`


Accélération

L'accélération à un instant donné d'un mobile A, considéré comme un point matériel, est le vecteur dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps dans le repère R.

A retenir

`vec(Gamma_(A in S//R))=[(d^2 vec(OA))/(dt^2)]_R=[(d vec(V_(A in S//R)))/(dt)]_R`

Solide indéformable

Pour développer la cinématique du solide, on considère, dans un premier temps les solides comme indéformables.

Les pièces d'un mécanisme sont supposées infiniment rigides.

A retenir

Un solide S est dit indéformable lorsqu'à tout instant t, la distance entre deux points quelconques A, B ∈ S , est constante.

On peut écrire que `vec(AB)^2 = cste` .

Champs de vecteur vitesse dans un solide indéformable

Un point matériel étant une entité mathématique pour laquelle il est impossible de définir une dimension, il est impossible de lui concevoir un mouvement de rotation. Par contre, un solide peut effectuer une rotation sur lui-même, elle est définissable et mesurable.

La loi de distrubution de vitesse dans un solide indéformable est:


Loi de distribution de vitesses

`vec(V_(B in S//R))=vec(V_(A in S//R))+vec(Omega_(S//R))^^vec(AB)`

ou :

  • `vec(Omega_(S//R))` est le vecteur rotation du solide, dont la norme est une vitesse de rotation en rad/s et sa direction, l'axe de rotation du solide et qui est constant pour tous points du solide à l'instant t (solide indéformable);
  • `vec(V_(A in S//R))`et `vec(V_(B in S//R))` sont les vecteurs vitesse linéaires des points A et B, dont la norme est en m/s.


Cas particuliers de champs de vitesse

Solide en translation

Dans un solide en translation, `vec(Omega_(S//R))` est nul en tous points. On obtient donc un champs de vecteur uniforme.


Dans un solide en translation

`vec(V_(B in S//R))=vec(V_(A in S//R))`

quelques soient A et B.

Le champs de vecteurs vitesse est uniforme

Vitesse solide translation.PNG

Solide en rotation dans le plan

Dans un solide en rotation pure dans le plan `vec(x),vec(y)`, on peut trouver un point O tel que `vec(V_(O in S//R))=vec(0)`. La vitesse d'un point A quelconque est obtenue à partir de la vitesse nulle en O en utilisant la loi de distribution de vitesses :

`vec(V_(A in S//R))=vec(V_(O in S//R))+vec(Omega_(S//R))^^vec(OA) = vec(Omega_(S//R))^^vec(OA)`

Conséquences géométriques :

Dans un solide en rotation

* `vec(V_(A in S//R))` est orthogonale à `vec(OA)` qui est aussi le rayon de la trajectoire du point A

  • La norme de `vec(V_(A in S//R))` est proportionnelle à la longueur OA (rayon de la trajectoire). Les vecteurs vitesses sont donc inscrits dans un secteur dont le sommet est en O et dont l'ouverture `alpha` est constante pour tous points du solide. Ce secteur est appelé "triangle des vitesses".

Vitesse solide rotation.PNG

Solide en rotation pure dans l'espace

Dans un solide en rotation pure dans l'espace, on peut trouver un axe `Delta` tel que pour tous points O de `Delta` `vec(V_(O in S//R))=vec(0)`. La vitesse d'un point A quelconque est obtenue à partir de la vitesse nulle en O en utilisant la loi de distribution de vitesses :

`vec(V_(A in S//R))=vec(V_(O in S//R))+vec(Omega_(S//R))^^vec(OA) = vec(Omega_(S//R))^^vec(OA)`

Dans un solide en rotation (espace)

* `vec(V_(A in S//R))` est orthogonale à `vec(OA)` qui est aussi le rayon de la trajectoire du point A et à `Delta`, axe de rotation du solide.

  • La norme de `vec(V_(A in S//R))` est proportionnelle à la distance A à `Delta` (rayon de la trajectoire). Les vecteurs vitesses sont donc inscrits dans un triangle des vitesses.

Vitesse solide rotation espace.PNG

Solide en mouvement quelconque

Dans le cas général, un solide a un mouvement de translation combiné à un mouvement de rotation. Son mouvement dans un référentiel R est donc entièrement défini par :

  • `vec(Omega_(S//R))` son vecteur rotation;
  • `vec(V_(A in S//R))` le vecteur vitesse linéaire d'un point quelconque du solide S.

Pour exprimer mathématiquement le mouvement d'un solide, on utilise le torseur. Le torseur est un concept mathématique qui réunit ces deux éléments.