Définitions et notions de base sur les systèmes linéaires, continus et invariants

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Grandeurs logiques, grandeurs analogiques

Dans les systèmes techniques automatisés, la partie commande gère le système avec des informations issues de l'extérieur ou provenant de la partie opérative du système (voir Etude structurelle des systèmes).

Ces informations peuvent être de deux types différents : analogique ou logique. Selon le type d'information, le traitement de la partie commande diffèrera et on n'emploiera une technologie adaptée.

Chaine fonctionnelle logique

Dans ce type de systèmes, les informations traitées sont logique (ou binaire). Elles ne peuvent prendre que deux états : actif ou inactif (oui ou non; vrai ou faux). Beaucoup de systèmes fonctionnent bien avec ce type d'informations.

Exemple : Souris d'ordinateur

Une souris d'ordinateur possède plusieurs organes d'acquisition d'information en provenance de l'utilisateur :

  • Les boutons droit et gauche;
  • Le système de détection du déplacement de la souris par rapport à la table;
  • Éventuellement, une molette de défilement.

Ces organes font l'acquisition des information et les convertissent en signaux électriques compréhensibles par l'unité centrale de l'ordinateur.

SADT niveau A-O :

SADT souris.png

Si on s'intéresse uniquement à la chaine fonctionnelle relative aux boutons de la souris, les informations traitées sont de type binaire : seul deux états sont retenus pour les boutons : enfoncé ou non-enfoncé. Le système n'a pas besoin d'informations plus précises dans cette chaine fonctionnelle pour remplir sa tâche.

Chaine fonctionnelle analogique

Dans ce type de systèmes, les informations traitées sont analogique. Elles peuvent prendre une infinité de valeurs à l'intérieure d'un domaine défini. Leur variation est continue. Beaucoup de système on la capacité de traiter ce type d'information.

Exemple : Souris d'ordinateur

Si on s'intéresse maintenant à la chaine fonctionnelle relative au déplacement de la souris, on comprend très vite que le déplacement précis de la souris (par exemple 1200 dpi, c'est à dire 1200 positions détectées par pouce) ne peux pas être traité avec une information logique. Une information logique permettrait tout au plus d'avoir des comptes-rendus du type : souris en bas, souris en haut , souris à gauche..... ce qui serait inadapté pour déplacer le pointeur à l'écran.

L'information traitée ici est nécessairement analogique : Les déplacement verticaux et horizontaux de la souris sont considérés comme des grandeurs analogique variant continuellement, permettant d'afficher précisément la position du pointeur à l'écran.

Systèmes continus

Dans les systèmes continus (qui sont l'objet de ce cours), l'information traitée est exclusivement de type analogique. On s'intéressera à la façon dont est traitée cette information.

Entrées, sorties, perturbations

On a déjà vu qu'un système est un ensemble d'éléments liés entre eux dans le but de réaliser une tâche déterminée.
Son comportement peut être décrit par des lois physiques, ces lois exprimant des relations de dépendance entre une cause et un effet, caractérisées par une grandeur d'entrée et une grandeur de sortie.
Ces grandeurs physiques, qui représentent en général une action pour l'entrée et un état pour la sortie, sont en décrites par des fonctions du temps que l'on notera sont notées [math] e(t)[/math] et [math] s(t)[/math].

E(t) s(t).PNG

 

Les entrées peuvent être de deux types:

  • les grandeurs de commande du système que l'on peut modifier pour agir sur le système,
  • les perturbations, qui sont les signaux que le système subit, sur lesquels on ne peut pas agir.

Principe de causalité

Pour un système élémentaire, ne mettant en jeu qu'une seule grandeur d'entrée, qu'une seule grandeur de sortie, et qu'un seul principe physique, et que l'on appellera par la suite un processeur, on admettra sans difficulté que:
l'effet ne peut jamais précéder la cause.

Cause effet.PNG

Exemple : Four à traitement thermique

Four.PNG

Pour un four destiné à réaliser des traitements thermiques sur des pièces:

  • la grandeur de sortie est la température à l'intérieur du four
  • la grandeur d'entrée sur laquelle on agit est la puissance fournie (débit thermique)
  • les perturbations sont les pertes de chaleur par les parois, par l'ouverture de la porte.

    La température intérieure du four ne va pas croître tant qu'aucune quantité d'énergie n'est apportée au four.


Un tel processeur est dit dynamique, c'est à dire que la réponse (signal de sortie) qui dépend à la fois des actions extérieures sur le système (signal d'entrée, perturbation...) et de l'état actuel du système (conditions initiales), dépend aussi de l'inertie du système. Dans le cas du four, c'est une inertie thermique.

Par exemple si la température du four est trop basse après une ouverture prolongée de la porte, il faut un certain temps, même à la puissance maximale, pour obtenir la température de consigne. On dira que le système est caractérisé par un "temps de réponse", noté en général .

Un système dont le temps de réponse est nul (pas d'inertie) est dit: instantané ou rigide ([math]\tau = 0[/math]).


(aucun système réel n'est instantané du fait de l'inertie des éléments ainsi que de la vitesse de transmission des actions et des informations. Dans un système électro-mécanique, la partie électrique pourra souvent être considérée comme instantanée vis à vis de la partie mécanique)

Évolution de T, température du four, à partir de l'instant [math]t=0[/math], date de l'allumage

Evolution t four.PNG

la température [math]T_f[/math] d'équilibre est atteinte au bout d'un temps infini, le temps de réponse [math] tr_{5\%} [/math] est celui après lequel la température reste comprise dans une fourchette de ± 5% de la différence [math](T_f - T_1)[/math]. Remarque: on verra plus tard que l'évolution est une fonction exponentielle.

Systèmes ouverts, Systèmes asservis

Systèmes ouverts

Un système ouvert est un système dont la commande ne dépend pas de la grandeur de sortie.

Exemple : Système d'éclairage

Un système d'éclairage classique envoie de l'énergie électrique à une ampoule lorsque un ordre est donné (par l'intermédiaire d'un interrupteur par exemple). Rien dans ce type de système ne permet de contrôler si l'ampoule est allumée réellement, ni de mesurer l'intensité lumineuse dégagée. C'est un système aveugle quand au résultat de son action. Il est ouvert.

Systèmes asservis

On dit qu'un système est asservi lorsque la variable de sortie est prélevée (par un capteur), puis utilisée pour élaborer un signal de retour qui est comparé au signal d'entrée. L'écart trouvé entre les deux est utilisé pour faire évoluer le système dans le sens d'une réduction de cet écart.

Synoptique général d'un système asservi

Entrée(consigne) Ecart
Carré blanc.PNG
Correcteur
Ecart corrigé
Fleche droite3.PNG
Carré blanc.PNG
Actionneur
Fleche droite3.PNG Comparateur+-bas3.PNG Fleche droite3.PNG Prelevement bas.PNG
. .
Carré blanc.PNG
Capteur
Signal de retour Coin gauche haut.PNG Coin retour.PNG
Sortie asservie
Fleche droite3.PNG

Exemple : Le régulateur de Watt (1789)

Le régulateur de Watt, à l'époque de la vapeur, avait pour fonction de maintenir constante la vitesse d'une machine à vapeur.

Regulateur de Watt.png Regulateur de Watt principe.PNG

L'admission de vapeur est commandée par une vanne. Cette vanne est actionnée par un ensemble de tringles et de deux masselottes dont l'écartement croît avec la vitesse de rotation de l'arbre de sortie de la turbine. Quand les masselottes s'écartent, la vanne se ferme, l'admission de vapeur diminue, et donc la pression baisse dans la chaudière. La rotation de la turbine se fait (presque…) à vitesse constante malgré les variations du couple résistant.

Vidéo du fonctionnement d'une machine à vapeur

Remarques - Définitions

Un asservissement est nécessaire dans le cas où:

  • la précision recherchée est importante (positionnement sur une machine outil)
  • des perturbations modifient l'état du système (alimentation électrique "stabilisée")
  • le comportement du système est mal connu ou variable (ampli opérationnel)
  • la stabilité du système n'est pas naturelle (pendule inverse).

On fait la distinction entre:

  • un asservissement lorsque la grandeur de sortie suit une consigne d'entrée variable.
  • une régulation lorsque la grandeur de sortie suit une consigne d'entrée constante.

(à la place de régulation on emploie aussi les termes réaction, rétroaction, contre-réaction, feedback...)


  • Une régulation est un cas particulier d'asservissement.
  • Dans le langage industriel, un asservissement est quelquefois appelé abusivement "régulation".
  • Un système bouclé n'est pas nécessairement asservi: pour cela, il faut qu'il y ait un capteur
  • On étudiera d'abord des systèmes directs (non asservis), puis par la suite les asservissements avec capteur.

Les systèmes linéaires, continus et invariants

Quand on veut étudier le comportement d'un système existant, on observe l'évolution de la sortie pour un signal d'entrée particulier. (on fait alors une étude expérimentale)

Les systèmes que nous étudions en classe préparatoire scientifique seront supposés dynamiques, continus, linéaires, invariants:

  • dynamiques: (= inertiels), par opposition à instantané (= rigides)
  • continus: les variables sont continues et les fonctions continues par morceaux
  • linéaires: "l'effet est proportionnel à la cause" (attention voir le § suivant)
  • invariants: son comportement ne s'altère pas dans le temps. (les paramètres sont constants)

Un tel système peut être modélisé par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.


Propriété de superposition, linéarité

Additivité ou superposition

Si un système donne une réponse [math]y_1(t)[/math] à une entrée [math]x_1(t)[/math] et une réponse [math]y_2(t)[/math] à une entrée [math]x_2(t)[/math], sa réponse à [math]x_1(t)+x_2(t)[/math] est [math]y_1(t)+y_2(t)[/math].


Proportionnalité

Si un système donne une réponse [math]y(t)[/math] à une entrée [math]x(t)[/math], sa réponse à [math]K.x(t)[/math] est [math]K.y(t)[/math].

Comportement réel des systèmes et linéarisation

Un système réel n'est jamais linéaire.

Exemple : on considère habituellement qu'un peson à ressort suit la loi [math]D_x = k . D_F [/math].

Si on applique un effort [math]D_F' = 1010 . D_F[/math] … l'allongement n'est pas [math]Dx' = 1010 . D_x ...[/math] Pour des petits efforts [math]D_F[/math], à cause du frottement, on peut n'avoir aucun déplacement: [math]D_x = 0[/math]

Différents cas de non linéarité

a) par saturation

Compression d'un ressort jusqu'à ce que les spires se touchent

b) par hystérésis

Magnétisation d'un acier non élasticité des matériaux plastiques.

c) par adhérence, effet de seuil

Les actions exercées sur le système sont trop faibles pour provoquer une variation de la sortie.

d) par résonance

Divergence des oscillations d'un système élastique non amorti: Exemple du pont suspendu, effet Larsen…

Domaine de linéarité d'un système

Dans un diagramme amplitude/fréquence, on observe généralement une limitation par saturation en amplitude, une limitation de la courbe de réponse en fréquence et un effet de seuil.


Cas de non linearite.PNG