Définition et utilisation des torseurs

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Définition

Champ de vecteur

Un champ de vecteur est une application qui définit un vecteur [math] \overrightarrow{V_{M}}[/math] en tout point de l'espace.

exemples : champ de vecteurs vitesse, champ magnétique, champ de pesanteur....

Champ de vecteurs équiprojectif et équiprojectivité

Un champ de vecteurs [math] \overrightarrow{M_{P}}[/math] équiprojectif est un champ de vecteurs qui répond à la propriété suivante :

Théorème de Varignon ou théorème de BABAR

[math] \overrightarrow{M_{B}} = \overrightarrow{M_{A}} + \overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{R}[/math]

ou [math] \overrightarrow{R}[/math] est un vecteur caractéristique du champ de vecteur appelé "résultante".

et ou les [math] \overrightarrow{M_{P}}[/math] sont les moments en chaque point P du champs de vecteurs.

La propriété d'équiprojectivité d'un tel champ de vecteur est exprimée par le fait que deux moments [math] \overrightarrow{M_{A}}[/math] et [math] \overrightarrow{M_{B}}[/math] du champs de vecteurs ont la même projection sur la droite passant par les deux points A et B :

Equiprojectivite.PNG

On a [math] \overrightarrow{A A'}= \overrightarrow{BB'}[/math]

Démonstration : En partant du théorème de Varignon [math] \overrightarrow{M_{B}} = \overrightarrow{M_{A}} + \overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{R}[/math] et en multipliant par [math] \overrightarrow{AB}[/math], on obtient :

[math] \overrightarrow{M_{B}}. \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{M_{A}}. \overrightarrow{AB} + ( \overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{R}). \overrightarrow{AB}[/math]

or [math]( \overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{R}). \overrightarrow{AB}[/math] est nul (produit mixte avec deux vecteurs égaux).

donc [math] \overrightarrow{M_{B}}. \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{M_{A}}. \overrightarrow{AB} =\gt \overrightarrow{A A'}= \overrightarrow{BB'}[/math]

Remarques:

  • La distribution des vecteurs vitesse dans un solide indéformable est un champ de vecteur équiprojectif puisque il respecte le théorème de Varignon;
  • L'équiprojectivité entre les vecteurs vitesse peut, donc, être utilisée pour les constructions graphiques.

Torseur

Un torseur est la représentation d'un champ de vecteurs équiprojectif, dont les vecteurs [math] \overrightarrow{M_{P}}[/math] en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon.

Éléments de réduction d'un torseur

Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction" en un point quelconque P de l'espace, à savoir :

  • La résultante [math] \overrightarrow{R}[/math]. Ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction.
  • Le moment en P du torseur, [math] \overrightarrow{M_{P}}[/math].

La résultante est donc un vecteur caractéristique du champ qui permet, à partir du moment en un point particulier, de retrouver les autres moments. De ce fait, les torseurs forment parmi les champs de vecteurs un sous-espace de dimension 6 (dans le cas de l'espace physique de dimension 3).

On écrit alors :

[math] \left \lbrace T \right \rbrace_{P} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{P}} \end{array} \right \rbrace_{P} [/math]

ou, en projetant la résultante et le moment sur un repère orthonormée R :

A retenir

[math] \left \lbrace T \right \rbrace_{P} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{P}} \end{array} \right \rbrace_{P} = \left \lbrace \begin{array}{cc} X & L \\ Y & M \\ Z & N \end{array} \right \rbrace_{P, R(vecx, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})}[/math]

où X, Y, Z sont les coordonnées de la résultante et L, M, N les coordonnées du moment.

Invariants d'un torseur

Invariants d'un torseur

Un torseur possède deux grandeurs indépendantes du point ou on l'écrit:

  • l'invariant vectoriel : la résultante [math] \overrightarrow{R}[/math];
  • l'invariant scalaire appelé aussi l'automoment : [math]A = \overrightarrow{R}. \overrightarrow{M_{A}}= \overrightarrow{R}. \overrightarrow{M_{B}}[/math].

Torseurs particuliers

Le torseur à résultante ou glisseur est un torseur dont :

  • l'automoment est nul, c'est à dire que le résultante et le moment sont orthogonaux en tout points;
  • le moment est nul en tout point de de son axe.

Le torseur couple est un torseur dont la résultante est nulle.


Opérations sur les torseurs

Egalité de deux torseurs

A retenir

[math]{T_{1}}_{O} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R_{1}} \\ \overrightarrow{M_{1}} \end{array} \right \rbrace_{0} = {T_{2}}_{O} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R_{2}} \\ \overrightarrow{M_{2}} \end{array} \right \rbrace_{0} =\gt \overrightarrow{R_{1}}= \overrightarrow{R_{2}}[/math] et [math] \overrightarrow{M_{1}}= \overrightarrow{M_{2}} [/math]

Somme de deux torseurs

A retenir

[math]{T_{1}}_{O} + {T_{2}}_{O} =\left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R_{1}} \\ \overrightarrow{M_{1}} \end{array} \right \rbrace_{0} +\left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R_{2}} \\ \overrightarrow{M_{2}} \end{array} \right \rbrace_{0} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R_{1}}+ \overrightarrow{R_{2}} \\ \overrightarrow{M_{1}}+ \overrightarrow{M_{2}} \end{array} \right \rbrace_{0}[/math] Les deux torseurs doivent être exprimés au même point.

Multiplication d'un torseur par un scalaire

A retenir

[math]\lambda.{T_{1}}_{O} =\left \lbrace \begin{array}{c} \lambda. \overrightarrow{R_{1}} \\ \lambda. \overrightarrow{M_{1}} \end{array} \right \rbrace_{0} [/math]

Éléments centraux d'un torseur

Point central

Un point central d'un torseur est un point pour lequel la résultante et le moment sont colinéaires :

A retenir

Si [math] \overrightarrow{M_{P}}=\lambda. \overrightarrow{R}[/math] alors P est un point central.

En P, le moment du torseur est minimum.

Détermination de l'axe central

A retenir

Soit un torseur : [math] \left \lbrace T \right \rbrace_{0} = \left \lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{O}} \end{array} \right \rbrace_{O} [/math].

L'axe central du torseur est la droite parallèle à [math] \overrightarrow{R}[/math] et passant par le point P tel que :

[math] \overrightarrow{OP} = \frac { \overrightarrow{R} \wedge \overrightarrow{M_{O}}}{ \overrightarrow{R}^{2}} [/math]