Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle

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En algèbre, la décomposition en fractions partielles ou en éléments simples d'une fonction rationnelle est son expression sous une somme de fractions ayant pour dénominateurs des puissances de polynômes irréductibles et pour numérateurs un polynôme de degré inférieur au polynôme irréductible du dénominateur. Les fractions partielles sont utilisées dans le calcul intégral pour faciliter la recherche de primitives. Elles sont aussi utilisées pour calculer l'inverse des transformées de Laplace.

Cas 1[modifier]

Soit [math]F(p[/math]) une fonction rationnelle définie par :

[math]F(p)= \frac {P(p)}{Q(p)}= \frac {P(p)}{(p-a_{1})(p-a_{2})......(p-a_{n-1})(p-a_{n})}[/math]

où P et Q sont deux fonctions polynômes.

[math]F(p)[/math] peut se mettre sous la forme :

[math]F(p) = \frac {A_{1}}{p-a_{1}}+ \frac {A_{2}}{p-a_{2}}+.......+ \frac {A_{n}}{p-a_{n}}[/math]

Exemple[modifier]

On veut décomposer [math]F(p) = \frac {5p^{2}-3p-11}{(p-1)(p+2)(p-3)}[/math]

[math]F(p)[/math] peut se mettre sous la forme : [math]\frac {A}{p-1}+ \frac {B}{p+2}+ \frac {C}{p-3}[/math]

Détermination de A,B et C par identification[modifier]

On réduit la décomposition au même dénominateur :

[math]F(p) = \frac {A(p+2)(p-3)+B(p-3)(p-1)+C(p-1)(p+2)}{(p-1)(p+2)(p-3)}[/math]

[math]=\gt F(p) = \frac {A(p^{2}-p-6)+B(p^{2}-4p+3)+C(p^{2}+p-2)}{(p-1)(p+2)(p-3)}[/math]

[math]=\gt F(p) = \frac {p^2(A+B+C)+p(-A-4B+C)+(-6A+3B-2C)}{(p-1)(p+2)(p-3)}[/math]

par identification [math]\begin{cases} A+B+C=5 \\-A-4B+C=-3 \\-6A+3B-2C=-11\end{cases} =\gt \begin{cases} A= \frac {3}{2}\\B=1 \\ C= \frac {5}{2}\end{cases} [/math]

Détermination de A,B et C par passage à la limite[modifier]

Pour déterminer [math]A_{i}[/math], on multiplie tous les termes par le dénominateur du terme en [math]A_{i}[/math] et on prend la limite pour laquelle dénominateur du terme en [math]A_{i}[/math] s'annule :


  • détermination de A (en multipliant par (p-1) et p tend vers 1) :

[math]lim_{p-\gt 1} \frac {5p^{2}-3p-11}{(p+2)(p-3)} = lim_{p-\gt 1} A+ \frac {B(p-1)}{p+2} + \frac {C(p-1)}{p-3}[/math]

[math]=\gt \frac {3}{2} = A[/math]


  • détermination de B (en multipliant par (p+2) et p tend vers -2) :

[math]lim_{p-\gt -2} \frac {5p^{2}-3p-11}{(p-1)(p-3)} = lim_{p-\gt -2} \frac {A(p+2)}{p-1} + B+ \frac {C(p+2)}{p-3}[/math]

[math]=\gt 1 = B[/math]


  • détermination de C (en multipliant par (p-3) et p tend vers 3) :

[math]lim_{p-\gt 3} \frac {5p^{2}-3p-11}{(p-1)(p+2)} = lim_{p-\gt 3} \frac {A(p-3)}{p-1} + \frac {B(p-3)}{p+2} + C[/math]

[math]=\gt \frac {5}{2} = C[/math]

Cas 2[modifier]

amath Soit [math]F(p)[/math] une fonction rationnelle définie par :

[math]F(p)= \frac {P(p)}{Q(p)}= \frac {P(p)}{(p-a_{1})^{p_{1}}(p-a_{2})^{p_{2}}......(p-a_{n-1})^{p_{n-1}}(p-a_{n})^{p_{n}}}[/math]

où P et Q sont deux fonctions polynômes.

[math]F(p)[/math] peut se mettre sous la forme :

[math]F(p) = \frac {A_{1,1}}{(p-a_{1})^{1}}+\frac {A_{1,2}}{(p-a_{1})^2}+.......+\frac {A_{1,p_{1}}}{(p-a_{1})^{p_{1}}}[/math]


[math]+ \frac {A_{2,1}}{(p-a_{2})^{1}}+\frac {A_{2,2}}{(p-a_{2})^{2}}+.......+\frac {A_{2,p_{2}}}{(p-a_{2})^{p_{2}}}[/math]


........

[math]+\frac {A_{n,1}}{(p-a_{n})^{1}}+ \frac {A_{n,2}}{(p-a_{n})^{2}}+.......+\frac {A_{n,p_{2}}}{(p-a_{2})^{p_{n}}}[/math]

Exemple[modifier]

Soit [math]F(p)= \frac {7p^{2}+1}{(p+3)(p-1)^{2}}[/math]

et sa décomposition en éléments simples : [math]F(p)= \frac {A}{p+3}+ \frac {B}{p-1} + \frac {C}{(p-1)^{2}}[/math]

Attention : ne pas oublier le terme [math] \frac {B}{p-1}[/math] !!

Par identification on obtient aisement : [math]A=4[/math], [math]B=3[/math] et [math]C=2[/math].

En utilisant le passage à la limite, les termes en A et C sont déterminés de la même manière que pour le cas 1 ci dessus.

Pour le terme en B, il faut faire tendre p vers l'infini :

[math]lim_{p-\gt oo} \frac {7p^{2}+1}{(p+3)(p-1)} = lim_{p-\gt oo} \frac {A(p-1)}{p+3}+ B + \frac {C}{p-1}[/math]


[math]=\gt 7 = A + B + 0 =\gt [/math] [math]A = 4[/math]

Réferences externes[modifier]

Pour un aspect plus mathématique de la méthode, voir l'article Wikipédia.