Composition de mouvements

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Définition

Quels que soient les solides [math]S_1[/math], [math]S_2[/math],....,[math]S_n[/math] en mouvements relatifs, on peut écrire la relation de composition de mouvements suivante :

Composition de mouvements

[math] \left \lbrace V_{ S_1/S_n } \right \rbrace_O = \left \lbrace V_{ S_1/S_2 } \right \rbrace_O + \left \lbrace V_{ S_2/S_3 } \right \rbrace_O + ..... + \left \lbrace V_{ S_{n-1}/S_n} \right \rbrace_O[/math]

Remarque : Cette somme de torseur n'a de sens que si tous les torseurs sont exprimés au même point.

Composition de vecteurs rotation

En séparant les éléments de réduction des torseurs dans la relation précédente, on peut écrire la loi de composition des vecteurs vitesse de rotation :

Jeu de lumiere.PNG

Composition des vitesses de rotation

[math]\overrightarrow {\Omega_{ S_1/S_n }} = \overrightarrow {\Omega_{ S_1/S_2 }} + \overrightarrow {\Omega_{ S_2/S_3 }} + ..... + \overrightarrow {\Omega_{ S_{n-1}/S_n}}[/math]


Exemple : jeu de lumière

L'illustration ci-contre représente un jeu de lumière motorisé qui permet l'orientation du faisceau lumineux par rotation suivant deux axes de rotation [math]vec a_1[/math] et [math]vec a_2[/math].

On peut donc écrire les vecteurs vitesse de rotations entre solides :

  • [math]\overrightarrow {\Omega_{ 1/0 }} = \omega_{01}. \overrightarrow a_1[/math]
  • [math]\overrightarrow {\Omega_{ 2/1 }} = \omega_{12}. \overrightarrow a_2[/math]


Et par composition des vecteurs vitesses de rotations : [math]\overrightarrow {\Omega_{ 2/0 }} = \overrightarrow {\Omega_{ 2/1 }} + \overrightarrow {\Omega_{ 1/0 }} = \omega_{12}. \overrightarrow a_2 + \omega_{01}. \overrightarrow a_1[/math]

Composition de vitesses (linéaires)

De la même manière que précédemment, on peut écrire une relation entre les moments des torseurs cinématiques composés :

Composition des vitesses

[math]\overrightarrow {V_{ M \in S_1/S_n }} = \overrightarrow {V_{ M \in S_1/S_2 }} + \overrightarrow {V_{ M \in S_2/S_3 }} + ..... + \overrightarrow {V_{ M \in S_{n-1}/S_n}}[/math]

Remarque : Toutes ces vitesses sont les vitesses du même point M.

Exemple 1: Mouvements de translation parallèles

Soit un wagon 1 en translation par rapport au sol 0 et un passager 2 se déplaçant dans le wagon (dans le sens inverse de la marche du wagon).

Wagon.PNG

On remarque que l'on peut définir plusieurs points confondus avec le point I dans la position représentée (appelés points coïncidents):

  • [math]I \in 1[/math] fixe par rapport au wagon (1) et
  • [math]I \in 2[/math] fixe par rapport au passager (2);

On peut écrire la loi de composition de vitesses au point I entre les solides 0, 1 et 2 :


Loi de composition de vitesses

[math]\overrightarrow { V_{I \in 2/0}}= \overrightarrow { V_{I \in 2/1}} + \overrightarrow { V_{I \in 1/0}}[/math]

ou :

  • [math]\overrightarrow { V_{I \in 2/0}}[/math] est la vitesse absolue;
  • [math]\overrightarrow { V_{I \in 1/0}}[/math] est la vitesse d'entrainement;
  • [math]\overrightarrow { V_{I \in 2/1}}[/math] est la vitesse relative;



Roulement sans glissement

Deux solides roulent l'un par rapport à l'autre si :

  • ils sont en contact par une liaison permettant le roulement, c'est à dire une rotation et une translation suivants des axes orthogonaux. C'est le cas des liaisons ponctuelle et linéaire rectiligne.
  • on considère qu'il y a adhérence au niveau du contact. Il n'y a pas de glissement.

Le mouvement relatif des deux solides est donc une rotation combinée à une translation.

Roulement sans glissement en I entre le sol 0 et la roue 1

Exemple : Contact roue/sol d'un vélo

Roulement sans glissement.PNG

Roulement sans glissement

Si il y a roulement sans glissement en I (point de contact entre le solide 0 et le solide 1), on peut écrire :

[math]\overrightarrow { V_{ I \in 1/0 } }= \overrightarrow 0[/math]

I est donc le Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement de 1 / 0. L'axe de rotation instantané de la roue passe donc par I. Les vitesses des autres points du solide sont donc inscrites dans un triangle des vitesses pointant en I (plus le point de la roue est éloigné du CIR et plus sa vitesse est importante).

Remarque : O étant le centre de la liaison pivot avec le cadre du vélo, [math]\overrightarrow { V_{ 0 \in 1/0 }}[/math] correspond à la vitesse du cadre du vélo par rapport au sol.