Comportement harmonique des systèmes asservis

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Le comportement harmonique (ou fréquentiel) d'un système linéaire est sa réponse à une entrée de type sinusoïdale. Son étude permet de mettre en évidence un certain nombre de caractéristiques du système comme la fréquence de coupure, sa stabilité et sa bande passante. amath

Cas des systèmes du 1er ordre

L'analyse harmonique d'un système, consiste à le soumettre à une entrée sinusoïdale de la forme `e(t) = e_0.sin(omega.t)` , de transformée de Laplace `E(p)= E_0.(omega)/(p^2+omega^2)`.

Pour un système du 1er ordre, la sortie dans le domaine de Laplace sera :

`S(p)= E_0.omega/(p^2+omega^2).G/(1+tau.p)`

Que l'on décompose en éléments simples : `S(p)=(G.E_0.omega)/(1+tau^2.omega^2).((1-tau.p)/(p^2+omega^2)+tau^2/(1+tau.p))`

`S(p)=(G.E_0.omega)/(1+tau^2.omega).(tau/(1/tau+p)+1/omega.omega/(p^2+omega^2)-tau.p/(p^2+omega^2))`

Ce qui correspond, dans le domaine temporel, à : `s(t)=(G.E_0.omega)/(1+tau^2.omega^2).(tau.e^(-t/tau)+1/omega.sin(omega.t)-tau.cos(omega.t)).u(t)`


Réponse d'un système du premier ordre à une entrée sinusoïdale. (en pointillé : sinusoïdale correspondant au régime établi)

On peut constater, sur les courbes ci-dessus que :

  • aprés une période transitoire, s(t) devient sinusoïdale;
  • s(t) à la même période que e(t);
  • s(t) n'a pas la même amplitude que e(t);
  • s(t) présente un déphasage par rapport à e(t).

En posant : `cos(phi)=1/sqrt(1+tau^2.omega^2)` et `sin(phi)=-(tau.omega)/sqrt(1+tau^2.omega^2)`

on peut écrire s(t) en une somme de deux fonctions `s(t)=s_t (t)+s_f (t)` avec :

  • `s_(t)(t)=(G.E_0.omega)/(1+tau^2.omega^2).tau.e^(-t/tau)` : régime transitoire.
  • `s_(f)(t)=(G.E_0)/sqrt(1+tau^2.omega^2).sin(omega.t+phi)` : régime forcé (ou établi).

En faisant abstraction du régime transitoire, on s'aperçoit que la réponse harmonique, d'un système du 1er ordre, d'une fonction sinusoïdale, est une fonction sinusoïdale (régime forcé) de même pulsation omega, de déphasage phi et d'amplitude `s_0=(G.E_0)/sqrt(1+tau^2.omega^2)`.

Etude fréquentielle

D'une façon générale, dans le cadre d'une étude fréquentielle, on ne s'intéressera qu'au régime forcé de la réponse dont les paramètres sont limités à l'amplitude s_0 et au déphasage phi de la fonction. Il est intéressant de voir l'évolution de ces paramètres en fonction de la pulsation omega du signal d'entrée.

Pour cela, en posant p=j.omega, la fonction de transfert F(p) du système peut se décomposer, comme toute fonction complexe en module et argument qui correspondent à l'amplitude et au déphasage du système par rapport à son entrée.

  • `s_0/e_0=|F(j.omega)|` : module de la fonction de transfert.
  • `phi=arg(F(j.omega))` : argument de la fonction de transfert.

Pour l'étude fréquentielle, il est intéressante d'étudier ces fonctions et de les représenter par des diagrammes : les diagrammes de Bode, Nyquist et Black.

Diagramme de Bode

Définition

Le diagramme de Bode consiste en représenter l'argument et la phase de `F(j.omega)` en fonction de omega sur deux représentations séparées.

  • `G_(db)= 20.log(|H(j.omega)|)` appelé gain de la fonction F(j.omega), exprimé en décibels;
  • `phi=arg(H(j.omega))` appelé phase de la fonction F(j.omega).

L'axe des abscisses est gradué en logarithme décimal en fonction de la pulsation omega, ou des pulsations réduites omega.tau (1er ordre) ou omega/omega_0 (2nd ordre). On indique sur l'axe la valeur de omega et non celle de log(omega). Les deux courbes ayant la même abscisse, elles sont tracées l'une en dessous de l'autre.

Cas des systèmes du 1er ordre

Étude du gain

`G(dB)=20.log(|G/(1+j.tau.omega)|)=20.log(G)-20.log(sqrt(1+(tau.omega)^2))`


  • Pour `tau.omega < < 1`, `G(dB)~~20.log(G)` l'asymptote est horizontale;
  • Pour `tau.omega > > 1`, `G(dB)~~20.log(G) - 20.log(tau.omega)` l'asymptote a une pente -20 dB/décade.
  • Pour `omega=1/tau`, `G(dB)=20.log(G) - 20.log(sqrt(2)) = 20.log(G) - 3dB`. On est à la pulsation de coupure, intersection entre les deux asymptotes.

Étude de la phase

`phi = arg(F(j.omega))=-arctan(tau.omega)`

  • Pour `omega -> 0, phi -> 0;
  • Pour `omega -> oo, phi -> -90°`;
  • Pour `omega = 1/tau, phi = -45 °`.

Comparaison avec les réponses temporelles

cas : omega < 1/tau

On est avant la fréquence de coupure omega=1/tau.

  • l'atténuation du signal d'entrée est faible;
  • le déphasage est faible.

(G=1, tau=2, omega=0.2 rad/s)

cas : omega = 1/tau

On est à la fréquence de coupure omega=1/tau.

  • l'atténuation du signal d'entrée est de -3dB;
  • le déphasage est de -45°.

(G=1, tau=2, omega=0.5 rad/s)

cas : omega > 1/tau

On est au delà la fréquence de coupure omega=1/tau.

  • l'atténuation du signal d'entrée est forte;
  • le déphasage est proche de -90°.

(G=1, tau=2, omega=1.5 rad/s)


Cas des systèmes du 2nd ordre avec z>1

On a `H(p) = G/((1 + \tau _1 p).(1 + \tau _2 p))` et `tau_1 .tau_2 = 1/omega _n ^2`

Diagramme de gain

Le système est équivalent à deux systèmes du 1er ordre placés en série. On peut donc décomposer le tracé du diagramme de Bode en deux fonctions du 1er ordre, soit :

`G(dB)=20.log(G)-20.log(sqrt(1+(tau_1.omega)^2))-20.log(sqrt(1+(tau_2.omega)^2))`

On obtient donc :

`tau_1=1/2, tau_2=4, omega_n=sqrt(1/2), G=1`

  • asymptote horizontale pour omega<1/tau_2;
  • asymptote à -20dB/décades entre 1/tau_2 et 1/tau_1;
  • asymptote à -40dB/décades pour omega>1/tau_1;
  • les asymptotes horizontales et à -40dB/décades se croisent en omega_n.

Diagramme de phase

De même :

`phi = -arctan(tau_1.omega)-arctan(tau_2.omega)`

  • Pour `omega -> 0, phi -> 0;
  • Pour `omega -> oo, phi -> -180°`;
  • Pour `omega = omega_n, phi = -90 °`.

Cas des systèmes du 2nd ordre avec z<1

On a `H(p) = G.omega_n^2/(p^2+2.z.omega_n.p+omega_n^2)`

`H(j.omega) = G.omega_n^2/((j.omega)^2+2.z.omega_n.(j.omega)+omega_n^2)`

Diagramme de gain

`|H(j.omega)| = G/sqrt((1-(omega/omega_n)^2)^2+4.z^2.(omega/omega_n)^2)`

`|H(j.omega)|_(dB) = 20.log(G)-10.log((1-(omega/omega_n)^2)^2+4.z^2.(omega/omega_n)^2)`


`omega_n=sqrt(1/2), z=0.2, G=1`

  • asymptote horizontale à 20.log(G) pour `omega->0`;
  • asymptote à -40dB/décades pour `omega->oo`;
  • les asymptotes horizontales et à -40dB/décades se croisent en `omega_n`.

Résonnance

Pour z<0.707, il y a un extremum pour `omega_r=omega_n.sqrt(1-2.z^2)`, pulsation de résonnance que l'on nomme omega_r.

Le signal de sortie dépasse en amplitude le signal d'entrée multiplié par le gain. Le maximum à la résonnance (ou surtension) est défini par :

`G(omega_r)=20log (G/(2.z.sqrt(1-z^2)))`.

Le facteur de résonnance varie de 1 à +oo quand z varie de 0.707 à 0.

Diagramme de phase

`phi = -arctan((2.z.(omega/omega_n))/(1-(omega/omega_n)^2))`

  • Pour `omega -> 0, phi -> 0;
  • Pour `omega -> oo, phi -> -180°`;
  • Pour `omega = omega_n, phi = -90 °`.

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